Diberikan p(x)=x^3-x+3 dan q(x)=(x-1)^2. Tentukan: a.

a. x³+x²-3x+4 (derajat 3), b. x³-x²+x+2 (derajat 3), c. x⁵-2x⁴+5x²-7x+3 (derajat 5)

Pembahasan

Diberikan dua fungsi polinomial:
p(x) = x³ - x + 3
q(x) = (x - 1)²

Kita perlu menentukan hasil operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian antara p(x) dan q(x), beserta derajatnya.

Pertama, kita perlu menyederhanakan q(x):
q(x) = (x - 1)² = x² - 2x + 1

Sekarang kita lakukan operasi:

a. p(x) + q(x) dan derajatnya:
p(x) + q(x) = (x³ - x + 3) + (x² - 2x + 1)
p(x) + q(x) = x³ + x² - x - 2x + 3 + 1
p(x) + q(x) = x³ + x² - 3x + 4

Derajat dari hasil penjumlahan ini adalah pangkat tertinggi dari variabel x, yaitu 3.

b. p(x) - q(x) dan derajatnya:
p(x) - q(x) = (x³ - x + 3) - (x² - 2x + 1)
p(x) - q(x) = x³ - x + 3 - x² + 2x - 1
p(x) - q(x) = x³ - x² - x + 2x + 3 - 1
p(x) - q(x) = x³ - x² + x + 2

Derajat dari hasil pengurangan ini adalah pangkat tertinggi dari variabel x, yaitu 3.

c. p(x) × q(x) dan derajatnya:
p(x) × q(x) = (x³ - x + 3) × (x² - 2x + 1)
Untuk mengalikan, kita distribusikan setiap suku dari p(x) ke q(x):
= x³(x² - 2x + 1) - x(x² - 2x + 1) + 3(x² - 2x + 1)
= (x⁵ - 2x⁴ + x³) - (x³ - 2x² + x) + (3x² - 6x + 3)
= x⁵ - 2x⁴ + x³ - x³ + 2x² - x + 3x² - 6x + 3
= x⁵ - 2x⁴ + (x³ - x³) + (2x² + 3x²) + (-x - 6x) + 3
= x⁵ - 2x⁴ + 0x³ + 5x² - 7x + 3
p(x) × q(x) = x⁵ - 2x⁴ + 5x² - 7x + 3

Derajat dari hasil perkalian ini adalah pangkat tertinggi dari variabel x, yaitu 5.

Jadi:
a. p(x) + q(x) = x³ + x² - 3x + 4, derajatnya 3
b. p(x) - q(x) = x³ - x² + x + 2, derajatnya 3
c. p(x) × q(x) = x⁵ - 2x⁴ + 5x² - 7x + 3, derajatnya 5