Diketahui suatu segitiga ABC dengan panjang sisi AC=5 cm

Nilai sin(α+β) + tan(α-β) adalah (49√2 + 10) / 70.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai sin(α+β) + tan(α-β) pada segitiga ABC, kita perlu mencari nilai sinus, cosinus, dan tangen dari sudut α (sudut BAC) dan β (sudut ABC).

Diketahui:
AC = 5 cm
AB = 7 cm
CD = 4 cm (CD tegak lurus AB)

Dalam segitiga siku-siku ADC:
sin(α) = CD / AC = 4 / 5
cos(α) = √(AC² - CD²) / AC = √(5² - 4²) / 5 = √9 / 5 = 3/5

Dalam segitiga siku-siku BDC:
Karena CD tegak lurus AB, maka segitiga BDC siku-siku di D.
Kita perlu mencari panjang BD. Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga BDC:
BC² = CD² + BD²
Namun, kita tidak tahu panjang BC atau BD secara langsung. Kita bisa mencari panjang BD menggunakan segitiga ABC secara keseluruhan.

Dalam segitiga ABC, kita bisa menggunakan aturan cosinus untuk mencari cos(β) jika kita tahu panjang BC, atau kita bisa menggunakan luas segitiga.

Luas segitiga ABC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AB * CD = 1/2 * 7 * 4 = 14 cm²

Kita juga bisa menghitung luas segitiga ABC menggunakan rumus:
Luas = 1/2 * AC * AB * sin(α) = 1/2 * 5 * 7 * (4/5) = 1/2 * 7 * 4 = 14 cm² (sesuai)

Sekarang kita cari sin(β) dan cos(β).
Dalam segitiga siku-siku BDC, kita tahu CD = 4. Kita perlu BD.
Kita tahu cos(α) = 3/5. AD = √(AC² - CD²) = √(5² - 4²) = 3.
Karena D terletak pada sisi AB, maka AB = AD + DB.
7 = 3 + DB => DB = 4 cm.

Dalam segitiga siku-siku BDC:
sin(β) = CD / BC = 4 / √(CD² + BD²) = 4 / √(4² + 4²) = 4 / √32 = 4 / (4√2) = 1/√2 = √2/2
cos(β) = BD / BC = 4 / √(CD² + BD²) = 4 / √(4² + 4²) = 4 / √32 = 4 / (4√2) = 1/√2 = √2/2

Sekarang hitung sin(α+β):
sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
sin(α+β) = (4/5)(√2/2) + (3/5)(√2/2)
sin(α+β) = (4√2)/10 + (3√2)/10 = (7√2)/10

Sekarang hitung tan(α-β):
tan(α-β) = (tan(α) - tan(β)) / (1 + tan(α)tan(β))
Kita perlu tan(α) dan tan(β).
tan(α) = sin(α) / cos(α) = (4/5) / (3/5) = 4/3
tan(β) = sin(β) / cos(β) = (√2/2) / (√2/2) = 1

tan(α-β) = (4/3 - 1) / (1 + (4/3)*1)
tan(α-β) = (1/3) / (1 + 4/3)
tan(α-β) = (1/3) / (7/3)
tan(α-β) = 1/7

Terakhir, hitung sin(α+β) + tan(α-β):
sin(α+β) + tan(α-β) = (7√2)/10 + 1/7
Untuk menyederhanakan, kita bisa mencari penyebut bersama:
= (49√2 + 10) / 70

Namun, jika kita perhatikan, α dan β adalah sudut dalam segitiga. Jika α + β = 90 derajat, maka sin(α+β) = 1. cos(α) = 3/5, maka α = arccos(3/5) ≈ 53.13 derajat. cos(β) = √2/2, maka β = 45 derajat. α + β = 53.13 + 45 = 98.13 derajat. Jadi bukan 90 derajat.

Mari kita cek kembali nilai cos(β). Dari segitiga ABC, menggunakan aturan cosinus pada sisi AC:
AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(β)
5² = 7² + BC² - 2 * 7 * BC * cos(β)
25 = 49 + BC² - 14 * BC * cos(β)

Kita tahu BC = √(CD² + BD²) = √(4² + 4²) = √32 = 4√2.
cos(β) = BD / BC = 4 / (4√2) = 1/√2 = √2/2. Ini benar.

Jadi nilai sin(α+β) + tan(α-β) = (7√2)/10 + 1/7 = (49√2 + 10) / 70.