Diberikan persegi panjang berukuran axb yang memenuhi

Luas terbesar tercapai saat a = b = n.

Pembahasan

Untuk mencari luas terbesar dari persegi panjang dengan keliling tetap, kita perlu menggunakan konsep optimasi. Misalkan panjang sisi persegi panjang adalah 'a' dan lebarnya adalah 'b'.

Diketahui:
Keliling = 2(a + b)
Hubungan antara sisi: a + b = 2n
Luas Persegi Panjang = L = a * b

Dari hubungan a + b = 2n, kita bisa menyatakan b dalam bentuk a: b = 2n - a.

Substitusikan nilai b ke dalam rumus luas:
L = a * (2n - a)
L = 2an - a^2

Untuk mencari luas terbesar, kita perlu mencari nilai maksimum dari fungsi kuadrat L(a) = -a^2 + 2an. Fungsi ini adalah parabola yang terbuka ke bawah, sehingga nilai maksimumnya tercapai pada titik puncaknya.

Titik puncak parabola y = Ax^2 + Bx + C terjadi pada x = -B / (2A).
Dalam kasus ini, A = -1 dan B = 2n.

Jadi, nilai 'a' yang memberikan luas terbesar adalah:
a = -(2n) / (2 * -1)
a = -2n / -2
a = n

Jika a = n, maka kita bisa mencari nilai b:
b = 2n - a
b = 2n - n
b = n

Ini berarti bahwa luas terbesar dari persegi panjang dengan keliling tetap tercapai ketika persegi panjang tersebut berbentuk persegi, di mana panjang sisinya sama dengan setengah dari jumlah panjang dan lebar (yaitu, n).

Jadi, kondisi tercapainya luas terbesar adalah ketika a = b = n.