Diberikan SPtLDV berikut ini. x+y<=7, 4x+3y<=24, x>=0, y>=0

Grafik DHP dibatasi oleh $x=0, y=0, x+y=7, 4x+3y=24$. Titik sudutnya adalah (0,0), (6,0), (3,4), (0,7). Himpunan penyelesaian adalah titik-titik di dalam atau pada batas poligon tersebut. Untuk bilangan asli, solusi adalah titik-titik berkoordinat bilangan asli di dalam atau pada batas tersebut, contohnya (1,1), (2,3), (3,4).

Pembahasan

Untuk Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) $x+y 
 \le 7$, $4x+3y 
 \le 24$, $x 
 \ge 0$, dan $y 
 \ge 0$, kita akan melakukan langkah-langkah berikut:

**i. Menggambar Grafik atau Daerah Himpunan Penyelesaian SPtLDV (untuk $x, y \in R$):**
1.  Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan untuk menemukan garis batas:
    *   $x+y = 7$ (memotong sumbu x di (7,0) dan sumbu y di (0,7))
    *   $4x+3y = 24$ (memotong sumbu x di (6,0) dan sumbu y di (0,8))
    *   $x = 0$ (sumbu y)
    *   $y = 0$ (sumbu x)
2.  Tentukan daerah penyelesaian untuk setiap pertidaksamaan dengan menguji titik (misalnya (0,0)):
    *   $x+y 
 \le 7$: $0+0 
 \le 7$ (Benar), jadi daerahnya di bawah garis $x+y=7$.
    *   $4x+3y 
 \le 24$: $4(0)+3(0) 
 \le 24$ (Benar), jadi daerahnya di bawah garis $4x+3y=24$.
    *   $x 
 \ge 0$: Daerah di sebelah kanan sumbu y.
    *   $y 
 \ge 0$: Daerah di atas sumbu x.
3.  Iriskan semua daerah penyelesaian tersebut. Daerah yang memenuhi semua kondisi adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan kedua garis $x+y=7$ dan $4x+3y=24$ di kuadran I.

**ii. Menggambar Himpunan Penyelesaian SPtLDV (untuk $x, y \in R$) dan Menandai Titik Koordinat:**
1.  Temukan titik potong dari garis-garis batas yang relevan:
    *   Titik potong sumbu y ($x=0$) dengan $x+y=7$ adalah (0,7).
    *   Titik potong sumbu y ($x=0$) dengan $4x+3y=24$ adalah (0,8).
    *   Titik potong sumbu x ($y=0$) dengan $x+y=7$ adalah (7,0).
    *   Titik potong sumbu x ($y=0$) dengan $4x+3y=24$ adalah (6,0).
    *   Titik potong antara $x+y=7$ dan $4x+3y=24$: Dari $x+y=7$, kita dapatkan $y=7-x$. Substitusikan ke persamaan kedua: $4x+3(7-x)=24 
 \Rightarrow 4x+21-3x=24 
 \Rightarrow x+21=24 
 \Rightarrow x=3$. Jika $x=3$, maka $y=7-3=4$. Jadi, titik potongnya adalah (3,4).
2.  Daerah himpunan penyelesaian (DHP) adalah poligon yang dibentuk oleh titik-titik sudut (0,0), (6,0), (3,4), dan (0,7).
3.  Tandai titik-titik koordinat $(x,y)$ yang berada di dalam atau pada batas DHP ini dengan noktah. Himpunan penyelesaiannya adalah semua titik $(x,y)$ yang berada di dalam atau pada batas poligon tersebut.

**iii. Mengulangi Soal (ii) untuk $x, y \in A$ (A adalah Himpunan Bilangan Asli):**
1.  Himpunan bilangan asli $A = \{1, 2, 3, ...\}$. Ini berarti $x$ dan $y$ harus bilangan bulat positif.
2.  Daerah penyelesaian yang kita cari sekarang hanya mencakup titik-titik dengan koordinat bilangan asli di dalam atau pada batas DHP yang telah digambar pada langkah ii. Titik-titik sudut DHP adalah (0,0), (6,0), (3,4), (0,7). Kita hanya mempertimbangkan titik-titik dengan $x \ge 1$ dan $y \ge 1$:
    *   Titik (3,4) adalah solusi karena $3 \in A$ dan $4 \in A$, serta memenuhi semua pertidaksamaan:
        *   $3+4 = 7 
 \le 7$ (Benar)
        *   $4(3)+3(4) = 12+12 = 24 
 \le 24$ (Benar)
        *   $3 
 \ge 0$ (Benar)
        *   $4 
 \ge 0$ (Benar)
    *   Titik lain dengan koordinat bilangan asli di dalam DHP juga merupakan solusi. Contohnya:
        *   (1,1): $1+1=2 
 \le 7$; $4(1)+3(1)=7 
 \le 24$. (Solusi)
        *   (2,3): $2+3=5 
 \le 7$; $4(2)+3(3)=8+9=17 
 \le 24$. (Solusi)
        *   (1,5): $1+5=6 
 \le 7$; $4(1)+3(5)=4+15=19 
 \le 24$. (Solusi)
3.  Himpunan penyelesaiannya adalah semua pasangan $(x,y)$ di mana $x$ dan $y$ adalah bilangan asli, yang terletak di dalam atau pada batas poligon yang dibentuk oleh titik (0,0), (6,0), (3,4), dan (0,7). Titik-titik yang memenuhi adalah: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6); (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5); (3,1), (3,2), (3,3), (3,4); (4,1), (4,2), (4,3); (5,1), (5,2); (6,0) - bukan bilangan asli y; (0,7) - bukan bilangan asli x.