Diketahui A = |1 1 0 0 1 0 0 0 1|Jumlah semua elemen

2013

Pembahasan

Untuk menghitung jumlah semua elemen matriks A^2010, kita perlu memahami sifat-sifat perpangkatan matriks. Pertama, mari kita hitung A^2.

A = 
| 1  1  0 |
| 0  0  1 |
| 0  0  1 |

A^2 = A * A = 
| 1  1  0 |   | 1  1  0 |
| 0  0  1 | * | 0  0  1 |
| 0  0  1 |   | 0  0  1 |

A^2 = 
| (1*1+1*0+0*0)  (1*1+1*0+0*0)  (1*0+1*1+0*1) |
| (0*1+0*0+1*0)  (0*1+0*0+1*0)  (0*0+0*1+1*1) |
| (0*1+0*0+1*0)  (0*1+0*0+1*0)  (0*0+0*1+1*1) |

A^2 = 
| 1  1  1 |
| 0  0  1 |
| 0  0  1 |

Sekarang mari kita hitung A^3:
A^3 = A^2 * A = 
| 1  1  1 |   | 1  1  0 |
| 0  0  1 | * | 0  0  1 |
| 0  0  1 |   | 0  0  1 |

A^3 = 
| (1*1+1*0+1*0)  (1*1+1*0+1*0)  (1*0+1*1+1*1) |
| (0*1+0*0+1*0)  (0*1+0*0+1*0)  (0*0+0*1+1*1) |
| (0*1+0*0+1*0)  (0*1+0*0+1*0)  (0*0+0*1+1*1) |

A^3 = 
| 1  1  2 |
| 0  0  1 |
| 0  0  1 |

Dari pola yang terlihat, tampaknya A^n akan memiliki bentuk:

A^n = 
| 1  1  (n-1) |
| 0  0  1       |
| 0  0  1       |

Kita bisa membuktikannya dengan induksi. Asumsikan benar untuk k, yaitu A^k = 
| 1  1  (k-1) |
| 0  0  1       |
| 0  0  1       |

Maka A^(k+1) = A^k * A = 
| 1  1  (k-1) |   | 1  1  0 |
| 0  0  1       | * | 0  0  1 |
| 0  0  1       |   | 0  0  1 |

A^(k+1) = 
| 1  1  (k-1)*0 + 1*1 + (k-1)*1 |
| 0  0  0*0 + 0*1 + 1*1       |
| 0  0  0*0 + 0*1 + 1*1       |

A^(k+1) = 
| 1  1  k |
| 0  0  1 |
| 0  0  1 |

Pola ini benar untuk n=2010. Maka:

A^2010 = 
| 1  1  2009 |
| 0  0  1    |
| 0  0  1    |

Jumlah semua elemen matriks A^2010 adalah 1 + 1 + 2009 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 2013.