Diketahui a=2i+kj, b=3i+5j, dan sudut (a, b)=pi/4. Tentukan

Nilai k yang memenuhi adalah 1/2.

Pembahasan

Diketahui vektor a = 2i + kj dan vektor b = 3i + 5j. Sudut antara kedua vektor adalah θ = π/4.

Kita dapat menggunakan rumus hasil kali titik (dot product) antara dua vektor:
a · b = |a| |b| cos(θ)

Terlebih dahulu, kita hitung hasil kali titik a · b:
a · b = (2)(3) + (k)(5) = 6 + 5k

Selanjutnya, kita hitung besar (magnitudo) dari masing-masing vektor:
|a| = √(2^2 + k^2) = √(4 + k^2)
|b| = √(3^2 + 5^2) = √(9 + 25) = √34

Nilai cos(θ) untuk θ = π/4 adalah cos(45°) = 1/√2 = √2/2.

Sekarang, substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus hasil kali titik:
6 + 5k = √(4 + k^2) * √34 * (√2/2)
6 + 5k = √(4 + k^2) * √(34 * 2) / 2
6 + 5k = √(4 + k^2) * √68 / 2
6 + 5k = √(4 + k^2) * √(4 * 17) / 2
6 + 5k = √(4 + k^2) * 2√17 / 2
6 + 5k = √(4 + k^2) * √17

Kuadratkan kedua sisi persamaan untuk menghilangkan akar kuadrat:
(6 + 5k)^2 = (√(4 + k^2) * √17)^2
36 + 60k + 25k^2 = (4 + k^2) * 17
36 + 60k + 25k^2 = 68 + 17k^2

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
25k^2 - 17k^2 + 60k + 36 - 68 = 0
8k^2 + 60k - 32 = 0

Bagi seluruh persamaan dengan 4 untuk menyederhanakannya:
2k^2 + 15k - 8 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
(2k - 1)(k + 8) = 0

Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan nilai k:
1) 2k - 1 = 0  =>  2k = 1  =>  k = 1/2
2) k + 8 = 0   =>  k = -8

Kita perlu memeriksa kedua nilai k ini dalam persamaan asli (6 + 5k) = √(4 + k^2) * √17 untuk memastikan tidak ada solusi extraneous akibat pengkuadratan. 

Untuk k = 1/2:
Sisi kiri: 6 + 5(1/2) = 6 + 5/2 = 12/2 + 5/2 = 17/2
Sisi kanan: √((4 + (1/2)^2)) * √17 = √(4 + 1/4) * √17 = √(17/4) * √17 = (√17 / 2) * √17 = 17/2. (Cocok)

Untuk k = -8:
Sisi kiri: 6 + 5(-8) = 6 - 40 = -34
Sisi kanan: √((4 + (-8)^2)) * √17 = √(4 + 64) * √17 = √68 * √17 = √(4*17) * √17 = 2√17 * √17 = 2 * 17 = 34. (Tidak cocok, karena -34 ≠ 34)

Oleh karena itu, satu-satunya nilai k yang memenuhi adalah k = 1/2.