Diketahui a dan b adalah besar dua sudut pada sebuah

Nilai $\sin(a+b)$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Pembahasan

Kita diberikan dua persamaan:
1. $\sin a + \sin b = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
2. $\cos a + \cos b = \frac{1}{2}\sqrt{6}$

Kita dapat menggunakan identitas penjumlahan sudut:
$\sin a + \sin b = 2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)$
$\cos a + \cos b = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)$

Substitusikan identitas ke dalam persamaan yang diberikan:
1. $2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{2}$
2. $2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{6}$

Bagi persamaan (1) dengan persamaan (2):
$\frac{2 \sin\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{6}}$
$\tan\left(\frac{a+b}{2}\right) = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Dari sini, kita dapat menentukan nilai $\frac{a+b}{2}$. Jika $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$, maka $x = 30^\circ$ atau $\frac{\pi}{6}$ radian.
Jadi, $\frac{a+b}{2} = 30^\circ$.
Maka, $a+b = 60^\circ$.

Sekarang kita cari $\sin(a+b)$:
$\sin(a+b) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Jadi, $\sin(a+b) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.