Diketahui alpha, beta, dan gamma merupakan akar-akar

48

Pembahasan

Diketahui persamaan suku tiga \(t^3 - 12t^2 + 28t + n = 0\) dengan akar-akar \(\alpha\), \(\beta\), dan \(\gamma\).
Menurut Teorema Vieta untuk persamaan suku tiga:
1. Jumlah akar-akar: \(\alpha + \beta + \gamma = -(-12)/1 = 12\)
2. Jumlah hasil kali akar-akar berpasangan: \(\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = 28/1 = 28\)
3. Hasil kali akar-akar: \(\alpha\beta\gamma = -n/1 = -n\)

Diketahui juga bahwa \(\alpha = \beta + \gamma\).
Substitusikan \(\beta + \gamma\) dengan \(\alpha\) pada persamaan jumlah akar-akar:
\(\alpha + (\beta + \gamma) = 12\)
\(\alpha + \alpha = 12\)
\(2\alpha = 12\)
\(\alpha = 6\)

Sekarang kita tahu salah satu akarnya adalah 6. Karena 6 adalah akar, maka jika kita substitusikan \(t=6\) ke dalam persamaan awal, hasilnya harus nol:
\(6^3 - 12(6^2) + 28(6) + n = 0\)
\(216 - 12(36) + 168 + n = 0\)
\(216 - 432 + 168 + n = 0\)
\(384 - 432 + n = 0\)
\(-48 + n = 0\)
\(n = 48\)

Jadi, nilai n adalah 48.