Diketahui deret aritmetika, suku keenam sama dengan 4 kali

Menentukan suku pertama dan beda deret aritmetika dari informasi yang diberikan, lalu menghitung jumlah sepuluh suku pertama.

Pembahasan

Misalkan deret aritmetika tersebut adalah $u_1, u_2, u_3, \dots$ dengan suku pertama $u_1 = a$ dan beda $d$.

Diketahui:
1. Suku keenam sama dengan 4 kali suku pertama:
\[u_6 = 4u_1\]

Rumus suku ke-n deret aritmetika adalah $u_n = a + (n-1)d$. Maka:
\[a + (6-1)d = 4a\]

\[a + 5d = 4a\]

\[5d = 3a\]

\[d = \frac{3}{5}a\quad (*)\]

2. Suku kelima sama dengan sembilan lebih besar dari suku kedua:
\[u_5 = u_2 + 9\]

\[a + (5-1)d = a + (2-1)d + 9\]

\[a + 4d = a + d + 9\]

\[3d = 9\]

\[d = 3\]

Sekarang kita substitusikan nilai $d$ ke persamaan (*):

\[3 = \frac{3}{5}a\]

\[a = \frac{3 \times 5}{3}\]

\[a = 5\]

Jadi, suku pertama adalah 5 dan bedanya adalah 3.

Untuk menghitung jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut, kita gunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika:

\[S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]\]

Untuk $n=10$, $a=5$, dan $d=3$:

\[S_{10} = \frac{10}{2} [2(5) + (10-1)3]\]

\[S_{10} = 5 [10 + (9)3]\]

\[S_{10} = 5 [10 + 27]\]

\[S_{10} = 5 [37]\]

\[S_{10} = 185\]

Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 185.