Diketahui elips dengan persamaan 3x^2 + 5y^2= 15.

a. $(\pm \sqrt{5}, 0)$, b. $2\sqrt{5}$, c. $2\sqrt{3}$, d. $(\pm \sqrt{2}, 0)$, e. $\sqrt{2/5}$, f. x = $\pm (5\sqrt{2})/2$, g. $(6\sqrt{5})/5$.

Pembahasan

Persamaan elips yang diberikan adalah 3x^2 + 5y^2 = 15.
Untuk menentukan karakteristik elips, kita perlu mengubah persamaan ke bentuk standar.
Bagi kedua sisi dengan 15:
(3x^2)/15 + (5y^2)/15 = 15/15
x^2/5 + y^2/3 = 1

Bentuk standar elips horizontal adalah (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1, dengan a^2 > b^2.
Dalam kasus ini, a^2 = 5 dan b^2 = 3.

a. Koordinat titik puncak:
Titik puncak berada pada sumbu mayor. Karena a^2 > b^2 dan berada di bawah x^2, sumbu mayor adalah sumbu x.
Titik puncak adalah $(\pm a, 0)$.
a = $\sqrt{5}$
Koordinat titik puncak adalah $(\sqrt{5}, 0)$ dan $(-\sqrt{5}, 0)$.

b. Panjang sumbu mayor:
Panjang sumbu mayor adalah 2a.
Panjang sumbu mayor = $2\sqrt{5}$.

c. Panjang sumbu minor:
Panjang sumbu minor adalah 2b.
b = $\sqrt{3}$
Panjang sumbu minor = $2\sqrt{3}$.

d. Koordinat titik fokus elips:
Untuk mencari fokus, kita perlu nilai c, di mana c^2 = a^2 - b^2.
c^2 = 5 - 3 = 2
c = $\sqrt{2}$
Koordinat titik fokus adalah $(\pm c, 0)$.
Koordinat titik fokus adalah $(\sqrt{2}, 0)$ dan $(-\sqrt{2}, 0)$.

e. Nilai eksentrisitas:
Eksentrisitas (e) = c/a.
e = $\sqrt{2}$ / $\sqrt{5}$ = $\sqrt{2/5}$.

f. Persamaan direktriks:
Persamaan direktriks untuk elips horizontal adalah x = $\pm a^2/c$.
x = $\pm 5 / \sqrt{2}$ = $\pm (5\sqrt{2})/2$.

g. Panjang latus rectum elips tersebut:
Panjang latus rectum = $2b^2/a$.
Panjang latus rectum = $2 * 3 / \sqrt{5}$ = $6 / \sqrt{5}$ = $(6\sqrt{5})/5$.