Diketahui f(x)=x^3-7x^2+4x-8 nilai limit h->0

-4

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit h->0 (f(h+4)-f(4))/h, kita perlu menggunakan definisi turunan dari fungsi f(x) = x³ - 7x² + 4x - 8. Definisi turunan dari suatu fungsi f(x) pada titik a adalah f'(a) = lim h->0 (f(a+h)-f(a))/h. Dalam soal ini, a=4. Pertama, kita hitung f(4): f(4) = (4)³ - 7(4)² + 4(4) - 8 = 64 - 7(16) + 16 - 8 = 64 - 112 + 16 - 8 = -40. Selanjutnya, kita hitung f(h+4): f(h+4) = (h+4)³ - 7(h+4)² + 4(h+4) - 8. Ekspansi dari (h+4)³ adalah h³ + 3(h²)(4) + 3(h)(4²) + 4³ = h³ + 12h² + 48h + 64. Ekspansi dari (h+4)² adalah h² + 2(h)(4) + 4² = h² + 8h + 16. Maka, f(h+4) = (h³ + 12h² + 48h + 64) - 7(h² + 8h + 16) + 4(h+4) - 8 = h³ + 12h² + 48h + 64 - 7h² - 56h - 112 + 4h + 16 - 8 = h³ + 5h² - 4h - 40. Sekarang kita substitusikan ke dalam rumus limit: lim h->0 (f(h+4)-f(4))/h = lim h->0 ((h³ + 5h² - 4h - 40) - (-40))/h = lim h->0 (h³ + 5h² - 4h)/h = lim h->0 (h(h² + 5h - 4))/h. Kita bisa membatalkan h, sehingga menjadi lim h->0 (h² + 5h - 4). Sekarang kita substitusikan h=0: 0² + 5(0) - 4 = -4. Jadi, nilai limitnya adalah -4. Alternatif lain adalah dengan mencari turunan f(x) terlebih dahulu: f'(x) = 3x² - 14x + 4. Kemudian hitung f'(4) = 3(4)² - 14(4) + 4 = 3(16) - 56 + 4 = 48 - 56 + 4 = -4.