Diketahui fungsi f : R -> R ditentukan dengan rumus f(x) =

(f o f)(x) = x

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa (f o f)(x) = x, kita perlu menghitung komposisi fungsi f(x) dengan dirinya sendiri. Diberikan fungsi f(x) = (ax+b)/(cx-a), dengan a, b, c adalah bilangan real tidak nol, x ≠ a/c, dan a² + bc ≠ 0.

Komposisi (f o f)(x) berarti f(f(x)).
Langkah 1: Substitusikan f(x) ke dalam f(x).
(f o f)(x) = f(f(x)) = f((ax+b)/(cx-a))

Langkah 2: Ganti setiap 'x' dalam rumus f(x) dengan ekspresi (ax+b)/(cx-a).
(f o f)(x) = [a * ((ax+b)/(cx-a)) + b] / [c * ((ax+b)/(cx-a)) - a]

Langkah 3: Sederhanakan ekspresi.
Untuk menyederhanakan, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan (cx-a) untuk menghilangkan pecahan dalam pecahan:

Pembilang:
a * (ax+b) + b * (cx-a)
= a²x + ab + bcx - ab
= a²x + bcx
= (a² + bc)x

Penyebut:
c * (ax+b) - a * (cx-a)
= acx + bc - acx + a²
= bc + a²
= a² + bc

Langkah 4: Gabungkan kembali pembilang dan penyebut.
(f o f)(x) = [(a² + bc)x] / [a² + bc]

Karena diberikan bahwa a² + bc ≠ 0, kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan (a² + bc).
(f o f)(x) = x

Ini menunjukkan bahwa komposisi fungsi f dengan dirinya sendiri menghasilkan fungsi identitas I(x) = x. Hal ini juga dikenal sebagai sifat involusi, di mana fungsi tersebut adalah invers dari dirinya sendiri.