Diketahui fungsi f: x -> f(x)=x-[|x|] dengan daerah asal

Fungsi ini bukan ganjil atau genap, tetapi merupakan fungsi periodik dengan periode dasar 1.

Pembahasan

Berikut adalah analisis dan jawaban untuk setiap bagian dari soal:

Fungsi yang diberikan adalah f(x) = x - [|x|], dengan daerah asal Df = {x | x ∈ R}.

a. Grafik fungsi y = f(x) = x - [|x|]:
Fungsi [|x|] adalah fungsi bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Ini berarti [|x|] akan menghasilkan bilangan bulat.
Mari kita analisis fungsi ini berdasarkan interval:
- Jika x adalah bilangan bulat (x = n, di mana n ∈ Z):
  f(n) = n - [|n|] = n - n = 0
  Jadi, untuk semua bilangan bulat, nilai fungsi adalah 0.

- Jika x bukan bilangan bulat:
  Misalkan x = n + α, di mana n adalah bagian bilangan bulat dari x (n = [|x|]) dan 0 < α < 1.
  f(x) = x - [|x|] = (n + α) - n = α
  Ini berarti nilai fungsi adalah bagian pecahan dari x.

Grafik fungsi ini akan berupa garis horizontal y = 0 pada setiap interval [n, n+1), kecuali pada titik-titik bulat.
Pada x = 1, f(1) = 0.
Pada x = 1.5, f(1.5) = 1.5 - [|1.5|] = 1.5 - 1 = 0.5
Pada x = 2, f(2) = 0.
Pada x = -1, f(-1) = -1 - [-1] = -1 - (-1) = 0
Pada x = -0.5, f(-0.5) = -0.5 - [-0.5] = -0.5 - (-1) = 0.5

Grafiknya akan terdiri dari segmen garis horizontal dengan panjang 1 pada ketinggian y = x - [|x|] untuk setiap interval (n, n+1), dan akan kembali ke 0 pada setiap bilangan bulat.
Lebih tepatnya, untuk setiap interval [n, n+1), grafik adalah segmen garis horizontal y = x - n, dimulai dari y=0 (inklusif di n) hingga mendekati y=1 (eksklusif di n+1). Namun, definisi [|x|] adalah bilangan bulat terbesar *kurang dari atau sama dengan* x. Jadi f(x) = x - [|x|] adalah bagian pecahan dari x.

Mari perbaiki.
Untuk x ∈ [n, n+1), [|x|] = n. Maka f(x) = x - n.
Ini berarti pada interval [0, 1), f(x) = x - 0 = x. Grafiknya garis y=x dari (0,0) hingga (1,1).
Pada interval [1, 2), f(x) = x - 1. Grafiknya garis y=x-1 dari (1,0) hingga (2,1).
Pada interval [-1, 0), [|x|] = -1. Maka f(x) = x - (-1) = x + 1. Grafiknya garis y=x+1 dari (-1,0) hingga (0,1).

Jika kita menggambar grafik y = x - [|x|], kita akan melihat pola berulang.

b. Apakah f merupakan fungsi ganjil atau fungsi genap?
Sebuah fungsi f adalah ganjil jika f(-x) = -f(x) untuk semua x dalam domainnya.
Sebuah fungsi f adalah genap jika f(-x) = f(x) untuk semua x dalam domainnya.

Mari kita uji f(-x):
f(-x) = (-x) - [|-x|]
Karena [|-x|] = -[|x|] jika x bukan bilangan bulat, dan [|-x|] = [|x|] jika x adalah bilangan bulat. Mari kita uji keduanya.

Kasus 1: x bukan bilangan bulat.
Misal x = 1.5, [|x|] = 1, f(1.5) = 1.5 - 1 = 0.5
-x = -1.5, [|-x|] = -2, f(-1.5) = -1.5 - (-2) = 0.5
Di sini, f(-x) = f(x), jadi tampaknya genap untuk kasus ini.

Mari kita uji f(-x) = -f(x).
-f(x) = -(x - [|x|]) = -x + [|x|]

Apakah (-x) - [|-x|] = -x + [|x|]?
Ini berarti [|-x|] = -[|x|]. Ini hanya benar jika x bukan bilangan bulat. Contoh: x=1.5, [|-1.5|] = -2, -[|1.5|] = -1. Jadi tidak sama.

Mari kita uji f(-x) = f(x).
Apakah (-x) - [|-x|] = x - [|x|]?
Ini berarti -x - [|-x|] = x - [|x|]. Atau -2x = [|-x|] - [|x|]. Ini tidak berlaku secara umum.

Mari kita periksa kembali definisi [|x|]. [|x|] adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x.

Contoh:
Jika x = 0.5, [|x|] = 0, f(0.5) = 0.5 - 0 = 0.5.
Jika x = -0.5, [|x|] = -1, f(-0.5) = -0.5 - (-1) = 0.5.
Jadi f(0.5) = f(-0.5), yang mengindikasikan fungsi genap.

Sekarang coba x = 1.5, [|x|] = 1, f(1.5) = 1.5 - 1 = 0.5.
Jika x = -1.5, [|x|] = -2, f(-1.5) = -1.5 - (-2) = 0.5.
Jadi f(1.5) = f(-1.5), yang mengindikasikan fungsi genap.

Sekarang coba x = 1, [|x|] = 1, f(1) = 1 - 1 = 0.
Jika x = -1, [|x|] = -1, f(-1) = -1 - (-1) = 0.
Jadi f(1) = f(-1), yang mengindikasikan fungsi genap.

Mari kita buktikan secara umum bahwa f(-x) = f(x).
Kita tahu bahwa [|-x|] = - [|x|] jika x bukan bilangan bulat, dan [|-x|] = [|x|] jika x adalah bilangan bulat.

Kasus 1: x adalah bilangan bulat, x = n.
f(-n) = (-n) - [|-n|] = -n - (-n) = 0.
f(n) = n - [|n|] = n - n = 0.
Jadi f(-n) = f(n).

Kasus 2: x bukan bilangan bulat.
Misalkan x = n + α, di mana n = [|x|] dan 0 < α < 1.
-x = -(n + α) = -n - α.
Karena -1 < -α < 0, maka [|-x|] = [|-n - α|] = -n - 1.

Sekarang hitung f(-x):
f(-x) = (-x) - [|-x|] = (-n - α) - (-n - 1) = -n - α + n + 1 = 1 - α.

Sekarang hitung f(x):
f(x) = x - [|x|] = (n + α) - n = α.

Jadi, f(-x) = 1 - α dan f(x) = α. Maka f(-x) ≠ f(x) untuk kasus ini. Contoh: x=0.5, f(0.5)=0.5, f(-0.5)=0.5. Ini benar. Tapi kita salah dalam menghitung [|-x|].

Definisi [|x|]: Bilangan bulat terbesar ≤ x.

Jika x = 0.5, [|x|] = 0. f(0.5) = 0.5 - 0 = 0.5.
Jika x = -0.5, [|x|] = -1. f(-0.5) = -0.5 - (-1) = 0.5.
Ini cocok dengan f(-x) = f(x).

Sekarang kita perlu bukti umum:
f(x) = x - [|x|]
f(-x) = -x - [|-x|]

Kita tahu bahwa [|a+b|] >= [|a|] + [|b|]. Ini tidak membantu.

Coba gunakan sifat [|-x|].
Jika x adalah bilangan bulat, [|-x|] = -x = [|x|] jika x=0, dan [|-x|] = -x jika x positif, [|-x|] = x jika x negatif. Tapi [|-x|] adalah bilangan bulat terbesar <= -x.

Jika x = 3, [|x|] = 3, f(3) = 3 - 3 = 0.
Jika x = -3, [|x|] = -3, f(-3) = -3 - (-3) = 0.

Jika x = 2.7, [|x|] = 2, f(2.7) = 2.7 - 2 = 0.7.
Jika x = -2.7, [|x|] = -3, f(-2.7) = -2.7 - (-3) = 0.3.

Di sini f(-2.7) = 0.3 dan f(2.7) = 0.7. Maka f(-x) ≠ f(x). Jadi fungsi ini bukan genap.

Mari kita uji f(-x) = -f(x).
-f(x) = -(x - [|x|]) = -x + [|x|].

Apakah f(-x) = -f(x)?
(-x) - [|-x|] = -x + [|x|]
Ini menyiratkan [|-x|] = -[|x|]. Ini benar jika dan hanya jika x adalah bilangan bulat.
Contoh: x = 2.7, [|-2.7|] = -3. -[|2.7|] = -2. Tidak sama.

Jadi fungsi ini bukan ganjil maupun genap. Mari kita periksa kembali soal atau definisi.

Fungsi FLOOR (paling umum digunakan untuk [|x|] di pemrograman) adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x.

Mari kita periksa kembali definisi f(x) = x - [|x|]. Ini adalah bagian pecahan dari x, yang juga dikenal sebagai fungsi "anti-floor" atau x mod 1.

Contoh:
f(3.7) = 3.7 - [|3.7|] = 3.7 - 3 = 0.7
f(-3.7) = -3.7 - [|-3.7|] = -3.7 - (-4) = 0.3

Sekarang mari kita uji sifat ganjil/genap lagi:
Untuk genap: f(-x) = f(x)?
f(-3.7) = 0.3, f(3.7) = 0.7. Tidak sama. Jadi bukan genap.

Untuk ganjil: f(-x) = -f(x)?
-f(3.7) = -0.7.
Kita punya f(-3.7) = 0.3. Tidak sama. Jadi bukan ganjil.

Namun, perhatikan bahwa bagian pecahan dari x, yaitu {x} = x - [|x|], memiliki sifat periodik dengan periode 1.

c. Apakah f merupakan fungsi periodik?
Sebuah fungsi f adalah periodik jika ada bilangan T > 0 sehingga f(x + T) = f(x) untuk semua x dalam domainnya.

Mari kita uji dengan T = 1:
f(x + 1) = (x + 1) - [|x + 1|]
Kita tahu bahwa [|x + 1|] = [|x|] + 1.
Jadi, f(x + 1) = (x + 1) - ([|x|] + 1)
f(x + 1) = x + 1 - [|x|] - 1
f(x + 1) = x - [|x|]
f(x + 1) = f(x)

Ya, f adalah fungsi periodik.

d. Jika f fungsi periodik, tentukan periode dasarnya.
Karena f(x + 1) = f(x), maka periode dari fungsi ini adalah 1. Periode dasar adalah nilai T positif terkecil yang memenuhi sifat periodik.

Jadi, periode dasarnya adalah 1.

Kesimpulan:
a. Grafik y = x - [|x|] adalah grafik yang terdiri dari segmen garis sejajar dengan sumbu x pada setiap interval bilangan bulat. Pada interval [n, n+1), grafiknya adalah y = x - n.
b. Fungsi f bukan fungsi ganjil maupun genap.
c. Ya, f merupakan fungsi periodik.
d. Periode dasar dari fungsi f adalah 1.