Perhatikan gambar! B A P C Titik P adalah pusat lingkaran

Besar sudut PBC adalah 30 derajat.

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut PBC, kita perlu menggunakan informasi yang diberikan dalam soal dan sifat-sifat geometri lingkaran.

Diketahui:
- P adalah pusat lingkaran.
- AC = 2 AB.
- Titik A, B, C berada pada keliling lingkaran.

Karena P adalah pusat lingkaran, maka PA, PB, dan PC adalah jari-jari lingkaran. Jadi, PA = PB = PC = r (jari-jari).

Dalam segitiga PAB, karena PA = PB, maka segitiga PAB adalah segitiga sama kaki. Ini berarti sudut PAB = sudut PBA.
Dalam segitiga PBC, karena PB = PC, maka segitiga PBC adalah segitiga sama kaki. Ini berarti sudut PBC = sudut PCB.
Dalam segitiga PAC, karena PA = PC, maka segitiga PAC adalah segitiga sama kaki. Ini berarti sudut PAC = sudut PCA.

Diberikan AC = 2 AB.
Karena AB dan AC adalah tali busur, panjang tali busur berbanding lurus dengan panjang busur yang diapitnya.

Sudut pusat yang menghadap busur yang sama memiliki perbandingan yang sama dengan panjang busur atau tali busur tersebut.

Misalkan sudut PAB = sudut PBA = α.
Maka sudut APB = 180° - 2α.

Misalkan sudut PBC = sudut PCB = β.
Maka sudut BPC = 180° - 2β.

Misalkan sudut PAC = sudut PCA = γ.
Maka sudut APC = 180° - 2γ.

Kita tahu bahwa sudut ACB adalah sudut keliling yang menghadap busur AB. Besar sudut ACB = 1/2 * sudut pusat APB = 1/2 * (180° - 2α) = 90° - α.
Karena sudut PCA = γ, maka sudut PCB = sudut ACB - sudut PCA = (90° - α) - γ.
Namun, kita juga tahu bahwa sudut PCB = β. Jadi, β = 90° - α - γ.

Perhatikan sudut A, B, C pada keliling lingkaran. Sudut ABC = sudut PBA + sudut PBC = α + β.
Sudut BAC = sudut PAB + sudut PAC = α + γ.
Sudut BCA = sudut PCB + sudut PCA = β + γ.

Karena AC = 2 AB, maka busur AC = 2 * busur AB.
Sudut pusat yang menghadap busur AC adalah sudut APC.
Sudut pusat yang menghadap busur AB adalah sudut APB.
Jadi, sudut APC = 2 * sudut APB.
180° - 2γ = 2 * (180° - 2α)
180° - 2γ = 360° - 4α
4α - 2γ = 180°
2α - γ = 90°  (Persamaan 1)

Sekarang kita juga punya hubungan sudut dalam segitiga PAC:
∠PAC + ∠PCA + ∠APC = 180°
γ + γ + (180° - 2γ) = 180°, ini selalu benar.

Perhatikan bahwa titik A, B, C berada pada lingkaran. Sudut ABC adalah sudut keliling yang menghadap busur AC. Sudut ABC = 1/2 * sudut APC = 1/2 * (180° - 2γ) = 90° - γ.
Kita juga tahu bahwa sudut ABC = sudut PBA + sudut PBC = α + β.
Jadi, α + β = 90° - γ.  (Persamaan 2)

Kita punya sistem persamaan:
1) 2α - γ = 90°
2) α + β + γ = 90°

Dari (1), γ = 2α - 90°.
Substitusikan ke (2):
α + β + (2α - 90°) = 90°
3α + β = 180°
β = 180° - 3α.

Kita perlu mencari nilai β (sudut PBC).

Mari kita gunakan hubungan AC = 2 AB lagi. Ini berarti panjang tali busur AC dua kali panjang tali busur AB.

Dalam segitiga PAB (sama kaki):
AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2 * PA * PB * cos(∠APB)
AB^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 cos(180° - 2α)
AB^2 = 2r^2 - 2r^2 (-cos(2α))
AB^2 = 2r^2 (1 + cos(2α))
AB^2 = 2r^2 (2 cos^2(α))
AB^2 = 4r^2 cos^2(α)
AB = 2r cos(α)

Dalam segitiga PAC (sama kaki):
AC^2 = PA^2 + PC^2 - 2 * PA * PC * cos(∠APC)
AC^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 cos(180° - 2γ)
AC^2 = 2r^2 (1 + cos(2γ))
AC^2 = 4r^2 cos^2(γ)
AC = 2r cos(γ)

Diketahui AC = 2 AB.
2r cos(γ) = 2 * (2r cos(α))
cos(γ) = 2 cos(α).

Kita punya:
γ = 2α - 90°
cos(2α - 90°) = 2 cos(α)
cos(90° - 2α) = 2 cos(α)
sin(2α) = 2 cos(α)
2 sin(α) cos(α) = 2 cos(α)

Asumsikan cos(α) ≠ 0 (jika cos(α) = 0, maka α = 90°, yang membuat segitiga PAB degenerasi).
Maka kita bisa membagi kedua sisi dengan 2 cos(α):
sin(α) = 1

Jika sin(α) = 1, maka α = 90°.
Jika α = 90°:
∠PAB = ∠PBA = 90°.
Ini berarti segitiga PAB siku-siku di P, yang tidak mungkin karena P adalah pusat lingkaran dan AB adalah tali busur.

Ada kesalahan dalam asumsi atau penafsiran soal.
Mari kita gunakan fakta bahwa sudut pusat berbanding lurus dengan panjang busurnya.

Busur AB panjangnya sebanding dengan sudut APB.
Busur AC panjangnya sebanding dengan sudut APC.

Karena AC = 2 AB, maka panjang busur AC = 2 * panjang busur AB.
Ini berarti sudut pusat yang menghadap busur AC adalah dua kali sudut pusat yang menghadap busur AB.
∠APC = 2 * ∠APB.

Kita tahu bahwa:
∠APB = 180° - 2α
∠APC = 180° - 2γ

Jadi, 180° - 2γ = 2 * (180° - 2α)
180° - 2γ = 360° - 4α
4α - 2γ = 180°
2α - γ = 90°.
Ini sama dengan Persamaan 1 yang kita dapatkan sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat sudut-sudut pada titik A:
∠BAC + ∠CAD = ∠BAD. Ini tidak membantu.

Sudut pada titik A pada keliling lingkaran: ∠BAC = ∠PAB + ∠PAC = α + γ.

Perhatikan sudut keliling yang menghadap busur BC, yaitu sudut BAC.
Sudut keliling yang menghadap busur BC adalah ∠BAC.
Sudut pusat yang menghadap busur BC adalah ∠BPC.
∠BPC = 180° - 2β.

Jadi, ∠BAC = 1/2 * ∠BPC = 1/2 * (180° - 2β) = 90° - β.

Kita punya:
∠BAC = α + γ.
Jadi, α + γ = 90° - β.
α + β + γ = 90°.
Ini adalah Persamaan 2 yang kita dapatkan sebelumnya.

Kita memiliki:
1) 2α - γ = 90°
2) α + β + γ = 90°

Kita perlu menemukan β.
Dari (1), γ = 2α - 90°.
Substitusikan ke (2):
α + β + (2α - 90°) = 90°
3α + β = 180°
β = 180° - 3α.

Kita perlu satu persamaan lagi untuk menyelesaikan α dan β.

Mari kita gunakan fakta bahwa A, B, C adalah titik pada lingkaran.
Jumlah sudut dalam segitiga ABC adalah 180°.
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°
(α + β) + (β + γ) + (α + γ) = 180°
2α + 2β + 2γ = 180°
α + β + γ = 90°.
Ini adalah Persamaan 2 lagi, jadi tidak memberikan informasi baru.

Kembali ke AC = 2 AB.
Ini berarti panjang tali busur AC = 2 * panjang tali busur AB.

Misalkan jari-jari lingkaran adalah r.
Dengan hukum cosinus pada segitiga PAB:
AB^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 cos(∠APB) = 2r^2(1 - cos(∠APB))
Dengan hukum cosinus pada segitiga PAC:
AC^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 cos(∠APC) = 2r^2(1 - cos(∠APC))

Karena AC = 2 AB, maka AC^2 = 4 AB^2.
2r^2(1 - cos(∠APC)) = 4 * 2r^2(1 - cos(∠APB))
1 - cos(∠APC) = 4 (1 - cos(∠APB))
1 - cos(∠APC) = 4 - 4 cos(∠APB)
4 cos(∠APB) - cos(∠APC) = 3.

Kita tahu ∠APC = 2 * ∠APB.
Misalkan ∠APB = θ. Maka ∠APC = 2θ.
4 cos(θ) - cos(2θ) = 3.
Kita tahu cos(2θ) = 2 cos^2(θ) - 1.
4 cos(θ) - (2 cos^2(θ) - 1) = 3
4 cos(θ) - 2 cos^2(θ) + 1 = 3
-2 cos^2(θ) + 4 cos(θ) - 2 = 0
cos^2(θ) - 2 cos(θ) + 1 = 0
(cos(θ) - 1)^2 = 0
cos(θ) = 1.

Jika cos(θ) = 1, maka θ = 0°. Ini berarti ∠APB = 0°, yang tidak mungkin karena A dan B adalah titik yang berbeda pada lingkaran.

Ada kemungkinan interpretasi yang berbeda dari "AC = 2 AB". Bisa jadi ini adalah perbandingan panjang busurnya, bukan panjang tali busurnya.
Jika panjang busur AC = 2 * panjang busur AB, maka sudut pusat yang bersesuaian juga memiliki perbandingan yang sama.
∠APC = 2 * ∠APB.

Kita sudah menggunakan ini dan mendapatkan kontradiksi.

Mari kita kembali ke segitiga sama kaki.

Dalam segitiga PAB, PA = PB = r.
Dalam segitiga PBC, PB = PC = r.
Dalam segitiga PAC, PA = PC = r.

AC = 2 AB.

Jika kita menganggap A, B, C sebagai sudut pada busur yang sama.

Perhatikan segitiga PAB. Jika kita memproyeksikan AB ke garis melalui P, atau menggunakan sudut tertentu.

Misalkan kita tempatkan P di titik (0,0).
A = (r, 0).
Misalkan sudut APB = θ.
B = (r cos θ, r sin θ).

Panjang AB = sqrt((r cos θ - r)^2 + (r sin θ - 0)^2)
AB = sqrt(r^2 cos^2 θ - 2r^2 cos θ + r^2 + r^2 sin^2 θ)
AB = sqrt(r^2(cos^2 θ + sin^2 θ) - 2r^2 cos θ + r^2)
AB = sqrt(2r^2 - 2r^2 cos θ)
AB = r * sqrt(2(1 - cos θ))
AB = r * sqrt(2 * 2 sin^2(θ/2))
AB = 2r sin(θ/2).

Misalkan sudut APC = φ.
C = (r cos φ, r sin φ).
AC = 2r sin(φ/2).

Karena AC = 2 AB:
2r sin(φ/2) = 2 * (2r sin(θ/2))
sin(φ/2) = 2 sin(θ/2).

Kita tahu bahwa sudut keliling yang menghadap busur sama adalah sama.
∠ACB menghadap busur AB.
∠ABC menghadap busur AC.
∠BAC menghadap busur BC.

∠ABC = 1/2 ∠APC = φ/2.
∠BAC = 1/2 ∠BPC.
∠BCA = 1/2 ∠APB = θ/2.

Dalam segitiga ABC:
∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180°
φ/2 + θ/2 + ∠BAC = 180°.

Kita perlu ∠BAC.
∠BAC = 180° - (φ/2 + θ/2).

Kita tahu ∠BAC adalah sudut keliling yang menghadap busur BC. Sudut pusatnya adalah ∠BPC.
∠BPC = 180° - (∠APB + ∠APC) jika B di antara A dan C, atau ∠APC - ∠APB jika P segaris.
Ini tergantung pada urutan titik A, B, C pada lingkaran.

Asumsikan urutan A, B, C searah jarum jam.
Maka ∠APC = ∠APB + ∠BPC.
φ = θ + ∠BPC.
∠BPC = φ - θ.

∠BAC = 1/2 (φ - θ).

Substitusikan ke jumlah sudut segitiga:
φ/2 + θ/2 + 1/2 (φ - θ) = 180°
φ/2 + θ/2 + φ/2 - θ/2 = 180°
φ = 180°.

Jika φ = 180°, maka AC adalah diameter. Jika AC adalah diameter, maka P terletak pada AC. Tapi P adalah pusat lingkaran.
Jika P terletak pada AC, maka A, P, C segaris. Maka AC adalah diameter.
Jika AC adalah diameter, maka ∠ABC = 90°.

Jika AC adalah diameter, P adalah titik tengah AC. Maka PA = PC = r.
Jika P adalah pusat lingkaran, dan AC adalah diameter, maka semua titik pada lingkaran memiliki jarak r dari P.

Jika AC adalah diameter, maka panjang busur AC adalah setengah keliling lingkaran.
Panjang busur AB. AB adalah tali busur.
AC = 2 AB.

Jika AC adalah diameter, maka ∠ABC = 90°.
Dalam segitiga siku-siku ABC, AB^2 + BC^2 = AC^2.
Kita tahu AC = 2 AB.
AB^2 + BC^2 = (2 AB)^2 = 4 AB^2.
BC^2 = 3 AB^2.
BC = AB * sqrt(3).

Sekarang kita gunakan segitiga sama kaki PAB, PBC, PAC.
PA = PB = PC = r.
AC = 2r (diameter).
AB = 2r sin(θ/2).
AC = 2r sin(φ/2).
Karena AC = 2r, maka sin(φ/2) = 1, sehingga φ/2 = 90°, φ = 180°.
Ini konsisten dengan AC sebagai diameter.

AC = 2 AB  =>  2r = 2 * (2r sin(θ/2))
1 = 2 sin(θ/2)
sin(θ/2) = 1/2.
θ/2 = 30°.
θ = 60°.
Jadi, ∠APB = 60°.

Karena segitiga PAB sama kaki dengan sudut puncak 60°, maka segitiga PAB adalah segitiga sama sisi.
Jadi, PA = PB = AB = r.
Ini konsisten dengan AB = 2r sin(60°/2) = 2r sin(30°) = 2r * (1/2) = r.

Sekarang kita perlu mencari ∠PBC.
Kita tahu ∠BPC = φ - θ = 180° - 60° = 120°.

Dalam segitiga PBC, PB = PC = r. Segitiga ini sama kaki.
Sudut PBC = sudut PCB.
∠PBC + ∠PCB + ∠BPC = 180°
2 * ∠PBC + 120° = 180°
2 * ∠PBC = 60°
∠PBC = 30°.

Jadi, besar sudut PBC adalah 30°.

Verifikasi:
∠APB = 60°.
∠BPC = 120°.
∠APC = 180°.

Segitiga PAB sama sisi, AB = r.
Segitiga PBC sama kaki, PB=PC=r, ∠BPC=120°, ∠PBC=∠PCB=30°.
Segitiga PAC diameter, AC = 2r.

AC = 2 AB  =>  2r = 2 * r. Ini benar.

Sudut pada keliling:
∠ACB = 1/2 ∠APB = 1/2 * 60° = 30°.
∠BAC = 1/2 ∠BPC = 1/2 * 120° = 60°.
∠ABC = 1/2 ∠APC = 1/2 * 180° = 90°.

Dalam segitiga ABC:
∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 90° + 30° + 60° = 180°.
Ini konsisten.

Kita ingin mencari sudut PBC.
Kita sudah menghitung ∠PBC = 30°.