Diketahui fungsi f(x)=x+4 dan g(x)=x^2+2x+1. Rumus dari

(fog)^(-1)(x) = -1 ± sqrt(x - 4).

Pembahasan

Diketahui fungsi:
f(x) = x + 4
g(x) = x^2 + 2x + 1

Kita perlu mencari rumus dari (fog)^(-1)(x).

Langkah 1: Cari rumus fog(x).
fog(x) = f(g(x))
Substitusikan g(x) ke dalam f(x):
f(g(x)) = g(x) + 4
f(g(x)) = (x^2 + 2x + 1) + 4
f(g(x)) = x^2 + 2x + 5
Jadi, fog(x) = x^2 + 2x + 5.

Langkah 2: Cari invers dari fog(x), yaitu (fog)^(-1)(x).
Misalkan y = fog(x), sehingga y = x^2 + 2x + 5.
Untuk mencari invers, kita perlu menukar x dan y, lalu selesaikan untuk y.
x = y^2 + 2y + 5
Kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat ini untuk y. Pindahkan x ke sisi kanan:
0 = y^2 + 2y + 5 - x
Atau:
y^2 + 2y + (5 - x) = 0

Kita bisa menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan y, di mana a=1, b=2, dan c=(5-x):
y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
y = [-2 ± sqrt(2^2 - 4(1)(5 - x))] / 2(1)
y = [-2 ± sqrt(4 - 20 + 4x)] / 2
y = [-2 ± sqrt(4x - 16)] / 2
y = [-2 ± sqrt(4(x - 4))] / 2
y = [-2 ± 2 * sqrt(x - 4)] / 2
y = -1 ± sqrt(x - 4)

Karena fog(x) = x^2 + 2x + 5 adalah fungsi kuadrat, inversnya tidak unik kecuali kita membatasi domainnya. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa kita mencari salah satu bentuk inversnya, maka:
(fog)^(-1)(x) = -1 + sqrt(x - 4) atau (fog)^(-1)(x) = -1 - sqrt(x - 4).

Untuk menentukan cabang mana yang benar, kita perlu mempertimbangkan domain dari fog(x). Fungsi g(x) = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 memiliki domain semua bilangan real. Namun, agar inversnya terdefinisi, kita perlu mempertimbangkan domain di mana fog(x) bersifat injektif. Puncak dari parabola y = x^2 + 2x + 5 berada di x = -b/(2a) = -2/(2*1) = -1. Jadi, jika domain f(x) adalah x >= -1, maka inversnya adalah -1 + sqrt(x - 4). Jika domain f(x) adalah x <= -1, maka inversnya adalah -1 - sqrt(x - 4).

Tanpa pembatasan domain, kedua bentuk tersebut adalah invers yang valid pada cabang yang berbeda.