Diketahui kubus ABCD.EFGH dan panjang rusuk adalah 6 cm

3√6 cm

Pembahasan

Misalkan panjang rusuk kubus adalah 's'. Dalam kasus ini, s = 6 cm.
Kita ingin mencari jarak dari titik C ke garis AH. Garis AH adalah diagonal ruang dari kubus.
Untuk memvisualisasikan ini, bayangkan kubus dengan titik A di (0,0,0), B di (6,0,0), D di (0,6,0), E di (0,0,6). Maka:
C berada di (6,6,0).
H berada di (0,6,6).
G berada di (6,6,6).
A berada di (0,0,0).

Garis AH dapat direpresentasikan oleh vektor arah dari A ke H, yaitu vektor AH = H - A = (0,6,6).
Titik pada garis AH dapat ditulis sebagai A + t * AH = (0,0,0) + t(0,6,6) = (0, 6t, 6t), di mana t adalah skalar.

Kita ingin mencari jarak dari titik C(6,6,0) ke garis AH.
Jarak ini adalah panjang vektor proyeksi dari vektor AC ke vektor arah AH, yang dikurangi dari panjang vektor AC, atau lebih mudah menggunakan rumus jarak titik ke garis.

Namun, cara yang lebih geometris adalah dengan mencari titik pada garis AH yang terdekat dengan C. Misalkan titik tersebut adalah P. Vektor CP harus tegak lurus terhadap vektor AH.

AC = C - A = (6,6,0).
AH = H - A = (0,6,6).

Misalkan P adalah titik pada garis AH, maka P = A + t * AH = (0, 6t, 6t).
CP = P - C = (0 - 6, 6t - 6, 6t - 0) = (-6, 6t - 6, 6t).

Karena CP tegak lurus AH, maka hasil kali titik CP · AH = 0.
(-6, 6t - 6, 6t) · (0, 6, 6) = 0.
(-6)(0) + (6t - 6)(6) + (6t)(6) = 0.
0 + 36t - 36 + 36t = 0.
72t - 36 = 0.
72t = 36.
t = 36/72 = 1/2.

Jadi, titik P pada garis AH yang terdekat dengan C adalah:
P = (0, 6 * (1/2), 6 * (1/2)) = (0, 3, 3).

Sekarang kita hitung jarak antara C(6,6,0) dan P(0,3,3).
Jarak CP = sqrt((0 - 6)^2 + (3 - 6)^2 + (3 - 0)^2).
Jarak CP = sqrt((-6)^2 + (-3)^2 + (3)^2).
Jarak CP = sqrt(36 + 9 + 9).
Jarak CP = sqrt(54).

sqrt(54) = sqrt(9 * 6) = 3 * sqrt(6).

Jadi, jarak antara titik C ke garis AH adalah 3√6 cm.