Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang AB=8 cm. Tentukan

a. $4\sqrt{6}$ cm, b. 8 cm

Pembahasan

a. Jarak titik G ke diagonal BD pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm adalah $8\sqrt{2}$ cm. 

b. Jarak titik E ke diagonal DF pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm adalah $8\sqrt{3}/3$ cm.

Perhitungan untuk a:
Misalkan titik B=(0,0,0), C=(8,0,0), D=(8,8,0), A=(0,8,0), E=(0,0,8), F=(8,0,8), G=(8,8,8), H=(0,8,8).
Titik G = (8,8,8)
Titik B = (0,0,0)
Titik D = (8,8,0)
Persamaan garis BD adalah vektor $\vec{r} = (0,0,0) + t(8,8,0) = (8t, 8t, 0)$.
Jarak dari titik G ke garis BD adalah panjang vektor proyeksi G pada BD. Vektor $\vec{BG} = (8,8,8)$.
Proyeksi $\vec{BG}$ pada $\vec{BD}$ adalah $\frac{\vec{BG} \cdot \vec{BD}}{\|\vec{BD}\|} = \frac{(8,8,8) \cdot (8,8,0)}{\sqrt{8^2+8^2+0^2}} = \frac{64+64}{\sqrt{128}} = \frac{128}{8\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$.

Perhitungan untuk b:
Titik E = (0,0,8)
Titik D = (8,8,0)
Titik F = (8,0,8)
Persamaan garis DF adalah vektor $\vec{r} = (8,8,0) + t(8-8, 0-8, 8-0) = (8,8,0) + t(0,-8,8) = (8, 8-8t, 8t)$.
Jarak dari titik E ke garis DF. Vektor $\vec{DE} = (0,0,8) - (8,8,0) = (-8, -8, 8)$.
Vektor $\vec{DF} = (8,0,8) - (8,8,0) = (0, -8, 8)$.
Proyeksi $\vec{DE}$ pada $\vec{DF}$ adalah $\frac{\vec{DE} \cdot \vec{DF}}{\|\vec{DF}\|} = \frac{(-8, -8, 8) \cdot (0, -8, 8)}{\sqrt{0^2+(-8)^2+8^2}} = \frac{64+64}{\sqrt{128}} = \frac{128}{8\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}$.
Terdapat kesalahan pada jawaban awal untuk soal b. Mari kita hitung ulang jarak titik E ke DF.

Untuk soal a: Jarak titik G ke BD.
Misalkan panjang rusuk kubus adalah s = 8 cm.
Diagonal BD berada pada bidang alas ABCD. Jarak dari G ke bidang alas adalah rusuk kubus, yaitu 8 cm. Proyeksi G pada bidang alas adalah titik C. Jarak GC adalah diagonal bidang, yaitu $s\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ cm. Titik B, C, D membentuk segitiga siku-siku di C pada bidang alas. Jarak titik G ke garis BD dapat dihitung dengan mencari tinggi segitiga GBD dari titik G ke sisi BD. Segitiga GBD adalah segitiga sama kaki dengan GB = GD = $8\sqrt{2}$ cm. Alas BD = $8\sqrt{2}$ cm. Misalkan M adalah titik tengah BD. Maka GM adalah tinggi segitiga GBD. Dalam segitiga GMD yang siku-siku di M, $GD^2 = GM^2 + MD^2$. $MD = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$. $(8\sqrt{2})^2 = GM^2 + (4\sqrt{2})^2$. $128 = GM^2 + 32$. $GM^2 = 96$. $GM = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$ cm. Jadi, jarak titik G ke BD adalah $4\sqrt{6}$ cm.

Untuk soal b: Jarak titik E ke DF.
Titik E berada di bidang atas EFGH. Diagonal DF berada pada bidang alas ABCD. Jarak terpendek dari E ke garis DF adalah jarak dari E ke proyeksinya pada bidang alas, lalu ditambah jarak dari proyeksi tersebut ke garis DF. Proyeksi E pada bidang alas adalah titik A. Jarak EA adalah rusuk kubus, yaitu 8 cm. Kita perlu mencari jarak dari titik A ke garis DF pada bidang alas. Bidang alas ABCD adalah persegi. Diagonal DF dan AC berpotongan di pusat persegi, sebut saja O. Jarak AO = CO = DO = BO = $\frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ cm. Segitiga ADO siku-siku di A. Jarak titik A ke garis DF (diagonal) tidak nol, tapi kita perlu jarak titik E ke garis DF.

Mari kita gunakan vektor.
Titik E = (0, 0, 8)
Titik D = (8, 8, 0)
Titik F = (8, 0, 8)
Vektor $\vec{DF} = F - D = (8-8, 0-8, 8-0) = (0, -8, 8)$.
Vektor $\vec{DE} = E - D = (0-8, 0-8, 8-0) = (-8, -8, 8)$.
Jarak titik E ke garis DF adalah panjang vektor $\vec{DE}$ dikurangi panjang proyeksi $\vec{DE}$ pada $\vec{DF}$.
Proyeksi $\vec{DE}$ pada $\vec{DF}$ adalah $\vec{p} = \frac{\vec{DE} \cdot \vec{DF}}{\|\vec{DF}\|^2} \vec{DF}$.
$\vec{DE} \cdot \vec{DF} = (-8)(0) + (-8)(-8) + (8)(8) = 0 + 64 + 64 = 128$.
$\mid\vec{DF}\|^2 = 0^2 + (-8)^2 + 8^2 = 0 + 64 + 64 = 128$.
$\vec{p} = \frac{128}{128} \vec{DF} = \vec{DF} = (0, -8, 8)$.

Panjang proyeksi $\vec{DE}$ pada $\vec{DF}$ adalah $\|\vec{p}\| = \sqrt{0^2 + (-8)^2 + 8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$.
Panjang vektor $\vec{DE}$ adalah $\|\vec{DE}\| = \sqrt{(-8)^2 + (-8)^2 + 8^2} = \sqrt{64+64+64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.

Jarak dari E ke garis DF adalah $\sqrt{\|\vec{DE}\|^2 - \|\vec{p}\|^2} = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 - (8\sqrt{2})^2} = \sqrt{192 - 128} = \sqrt{64} = 8$ cm. Terdapat kesalahan pada jawaban awal dan perhitungan sebelumnya.

Mari kita coba cara lain untuk soal b: Jarak titik E ke diagonal DF.
Titik E=(0,0,8), D=(8,8,0), F=(8,0,8). Rusuk s=8.
Persamaan garis DF: $P(t) = D + t(F-D) = (8,8,0) + t(0,-8,8) = (8, 8-8t, 8t)$.
Misalkan titik Q pada garis DF sehingga EQ tegak lurus DF. Vektor $\vec{EQ} = Q-E = (8, 8-8t, 8t) - (0,0,8) = (8, 8-8t, 8t-8)$.
$\,\vec{EQ} \cdot \vec{DF} = 0$
$(8, 8-8t, 8t-8) \cdot (0, -8, 8) = 0$
$8(0) + (8-8t)(-8) + (8t-8)(8) = 0$
$0 - 64 + 64t + 64t - 64 = 0$
$128t - 128 = 0$
$128t = 128$
$t = 1$

Jika t=1, maka titik Q = (8, 8-8(1), 8(1)) = (8, 0, 8), yang merupakan titik F.
Ini berarti jarak titik E ke garis DF adalah jarak EF. EF adalah rusuk kubus, yaitu 8 cm. Jadi, jarak titik E ke DF adalah 8 cm.

Jawaban yang benar:
a. Jarak titik G ke BD adalah $4\sqrt{6}$ cm.
b. Jarak titik E ke DF adalah 8 cm.