Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika P

Jarak titik H ke bidang AGP adalah sqrt(6) cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak dari titik H ke bidang AGP pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm dan P sebagai titik tengah EH, kita dapat menggunakan metode vektor atau rumus jarak titik ke bidang.

Misalkan kita tetapkan titik A sebagai pangkal koordinat (0,0,0).
Maka koordinat titik-titik tersebut adalah:
A=(0,0,0)
B=(6,0,0)
C=(6,6,0)
D=(0,6,0)
E=(0,0,6)
F=(6,0,6)
G=(6,6,6)
H=(0,6,6)

P adalah titik tengah EH, sehingga P = ((0+0)/2, (0+6)/2, (6+6)/2) = (0, 3, 6).

Bidang AGP dibentuk oleh vektor AG dan AP.
AG = G - A = (6,6,6)
AP = P - A = (0,3,6)

Normal bidang (n) dapat dicari dengan perkalian silang AG x AP:
n = AG x AP = (6,6,6) x (0,3,6)
n = ( (6*6 - 6*3), (6*0 - 6*6), (6*3 - 6*0) )
n = ( (36-18), (0-36), (18-0) )
n = (18, -36, 18)
Kita bisa menyederhanakan normal bidang menjadi n = (1, -2, 1) dengan membagi dengan 18.

Persamaan bidang AGP adalah nx "." (x - A) = 0
(1, -2, 1) "." (x - 0, y - 0, z - 0) = 0
x - 2y + z = 0

Sekarang kita cari jarak dari titik H(0,6,6) ke bidang x - 2y + z = 0.
Rumus jarak titik (x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah:
Jarak = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Dalam kasus ini, (x0, y0, z0) = (0,6,6), A=1, B=-2, C=1, D=0.
Jarak = |(1*0) + (-2*6) + (1*6) + 0| / sqrt(1^2 + (-2)^2 + 1^2)
Jarak = |0 - 12 + 6| / sqrt(1 + 4 + 1)
Jarak = |-6| / sqrt(6)
Jarak = 6 / sqrt(6)
Jarak = 6 * sqrt(6) / 6
Jarak = sqrt(6) cm