Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak

8/√3 cm atau 8√3/3 cm

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri ruang, khususnya jarak titik ke bidang pada kubus.
Diketahui:
Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 8 cm.
Kita perlu mencari jarak titik E ke bidang AFH.

Bidang AFH adalah salah satu bidang diagonal pada kubus. Untuk mencari jarak titik E ke bidang AFH, kita dapat menggunakan konsep proyeksi atau volume.

Metode 1: Menggunakan Luas Alas dan Tinggi
Perhatikan segitiga AFH. AF adalah diagonal sisi, AH adalah diagonal ruang, dan FH adalah diagonal sisi. Segitiga AFH adalah segitiga sama kaki.
Panjang rusuk = s = 8 cm.
Panjang diagonal sisi (misal AF) = s√2 = 8√2 cm.
Panjang diagonal ruang (misal AH) = s√3 = 8√3 cm.

Kita bisa menganggap segitiga AFH sebagai alas dari sebuah limas dengan puncak E. Jarak E ke bidang AFH adalah tinggi limas tersebut.

Untuk mencari jarak titik E ke bidang AFH, kita dapat mempertimbangkan segitiga AFE. Jarak E ke bidang AFH sama dengan jarak E ke garis AH dalam proyeksi yang sesuai, atau kita bisa mencari luas segitiga AFH dan luas segitiga yang dibentuk oleh E dan proyeksinya pada bidang AFH.

Sebuah pendekatan yang lebih mudah adalah mengenali simetri kubus. Jarak titik E ke bidang AFH sama dengan jarak titik B ke bidang ACGE (jika kita memutar kubus). Atau, kita bisa memvisualisasikan bahwa bidang AFH membagi kubus. Titik E dan C berada pada sisi yang berlawanan terhadap bidang AFH.

Jarak E ke bidang AFH adalah sama dengan jarak F ke bidang ADH (jika kita menamakan ulang titik). Lebih umum lagi, jarak titik ke bidang diagonal dalam kubus dapat dihitung dengan memproyeksikan titik tersebut ke bidang tersebut.

Cara lain adalah dengan melihat segitiga siku-siku yang relevan. Perhatikan segitiga AHE. AH = 8√3, AE = 8. EH = 8.

Jarak titik E ke bidang AFH dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
Jarak = Volume limas / (1/3 * Luas Alas)

Kita bisa menganggap limas dengan alas AFH dan puncak E. Volume limas E-AFH bisa dihitung dengan melihatnya sebagai bagian dari kubus.

Pendekatan yang lebih langsung adalah dengan mengidentifikasi bahwa jarak titik E ke bidang AFH sama dengan jarak titik B ke bidang AFH (karena simetri kubus jika kita memotongnya di tengah). Namun, ini masih memerlukan perhitungan.

Sebuah metode yang efisien adalah dengan menggunakan proyeksi. Proyeksikan E ke bidang AFH. Titik proyeksi tersebut akan berada pada garis tinggi dari segitiga AFH jika kita melihatnya dari sudut pandang tertentu.

Mari kita gunakan perbandingan luas:
Luas segitiga AFH = 1/2 * alas * tinggi. Jika kita gunakan FH sebagai alas (8√2), maka tinggi dari A ke FH perlu dicari. Atau, gunakan rumus luas segitiga dengan sisi-sisinya: s1 = 8√2, s2 = 8√2, s3 = 8√3.

Cara paling umum untuk soal ini adalah mengenali bahwa jarak titik ke bidang diagonal kubus adalah:
Jarak = (panjang rusuk) / √3

Namun, ini berlaku untuk jarak titik ke bidang diagonal yang tegak lurus dengannya. Dalam kasus ini, bidang AFH.

Mari kita coba hitung secara geometris:
Bidang AFH dibentuk oleh diagonal sisi AF, AH, dan FH.
Perhatikan segitiga AFE. AE = 8, AF = 8√2, EF = 8. Ini adalah segitiga siku-siku di E.

Cara lain: Jarak titik E ke bidang AFH sama dengan jarak titik C ke bidang AFH. Bidang AFH memotong kubus. Jarak dari E ke bidang AFH adalah tinggi sebuah tetrahedron E-AFH.

Jika kita mengambil bidang ABCD sebagai alas, titik E berada di atasnya. Bidang AFH memotong kubus.

Rumus yang sering digunakan untuk jarak titik ke bidang diagonal pada kubus adalah: jarak = (panjang rusuk) / √3. Namun, ini berlaku untuk bidang diagonal yang