Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 10 cm.

Jarak titik A ke bidang BDE adalah $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik A ke bidang BDE pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 10 cm, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Visualisasi Kubus dan Bidang:**
    *   Kubus ABCD.EFGH memiliki alas ABCD dan sisi atas EFGH. Titik A berada di alas.
    *   Bidang BDE dibentuk oleh titik B (salah satu sudut alas), D (salah satu sudut alas), dan E (salah satu sudut sisi atas).

2.  **Menentukan Jarak Titik ke Bidang:**
    Jarak titik A ke bidang BDE adalah panjang garis tegak lurus dari A ke bidang BDE. Kita bisa menggunakan konsep proyeksi atau vektor, namun cara yang lebih geometris adalah dengan mencari bidang bantu yang memotong bidang BDE dan melalui titik A, lalu mencari jarak dari A ke garis potong tersebut.

3.  **Pendekatan Geometris:**
    *   Pertimbangkan bidang yang melalui A, B, dan H. Bidang ini tegak lurus dengan bidang BDE di garis BD. Namun, ini tidak langsung membantu.
    *   Cara yang lebih efektif adalah dengan mencari bidang yang tegak lurus dengan BD dan melalui A, lalu mencari perpotongannya dengan BD. Atau, cari bidang yang tegak lurus dengan BDE.
    *   Salah satu cara adalah dengan menggunakan transformasi koordinat atau dengan mencari titik P pada bidang BDE sehingga AP tegak lurus bidang BDE. Ini cukup rumit secara geometris.
    *   Pendekatan yang lebih umum adalah mencari luas segitiga BDE dan luas proyeksinya pada bidang lain, atau menggunakan rumus jarak titik ke bidang jika kita menempatkan kubus dalam sistem koordinat.

4.  **Menggunakan Sistem Koordinat:**
    Misalkan titik A = (0, 0, 0).
    Maka:
    B = (10, 0, 0)
    D = (0, 10, 0)
    E = (0, 0, 10)

    Vektor normal bidang BDE dapat dicari dengan mengalikan dua vektor yang terletak pada bidang tersebut, misalnya $\vec{BD}$ dan $\vec{BE}$.
    $\vec{BD} = D - B = (0-10, 10-0, 0-0) = (-10, 10, 0)$
    $\vec{BE} = E - B = (0-10, 0-0, 10-0) = (-10, 0, 10)$

    Vektor normal $\vec{n} = \vec{BD} \times \vec{BE}$
    $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -10 & 10 & 0 \\ -10 & 0 & 10 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(100 - 0) - \mathbf{j}(-100 - 0) + \mathbf{k}(0 - (-100)) = 100\mathbf{i} + 100\mathbf{j} + 100\mathbf{k}$
    Jadi, vektor normal $\vec{n} = (100, 100, 100)$. Kita bisa sederhanakan menjadi $(1, 1, 1)$.

    Persamaan bidang BDE yang melalui titik B(10, 0, 0) dengan normal (1, 1, 1) adalah:
    $1(x - 10) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0$
    $x - 10 + y + z = 0$
    $x + y + z - 10 = 0$

    Jarak titik A(0, 0, 0) ke bidang $x + y + z - 10 = 0$ adalah:
    $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
    $d = \frac{|1(0) + 1(0) + 1(0) - 10|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$
    $d = \frac{|-10|}{\sqrt{3}}$
    $d = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm.

**Kesimpulan:**
Jarak titik A ke bidang BDE adalah $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm.