Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Nilai tangen

Nilai tangen sudut antara garis DH dan bidang BEG adalah sqrt(3)/3.

Pembahasan

Untuk mencari nilai tangen sudut antara garis DH dan bidang BEG pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, kita perlu menentukan garis pada bidang yang tegak lurus dengan bidang tersebut, atau menggunakan proyeksi.

Misalkan kita letakkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius. Misalkan D pada (0,0,0), A pada (6,0,0), C pada (0,6,0), dan H pada (0,0,6).

Bidang BEG dibentuk oleh titik B(6,0,6), E(6,0,0), dan G(6,6,6).

Garis DH adalah garis yang menghubungkan titik D(0,0,0) dan H(0,0,6). Garis DH sejajar dengan sumbu Z.

Untuk mencari sudut antara garis DH dan bidang BEG, kita bisa mencari sudut antara garis DH dan proyeksinya pada bidang BEG. Namun, pendekatan yang lebih mudah adalah dengan mencari sudut antara DH dan garis pada bidang BEG yang tegak lurus dengan DH.

Perhatikan bahwa garis DH tegak lurus dengan bidang alas ABCD. Bidang BEG tidak tegak lurus dengan DH. Kita bisa menggunakan vektor.

Vektor DH = H - D = (0,0,6) - (0,0,0) = (0,0,6).
Vektor EB = B - E = (6,0,6) - (6,0,0) = (0,0,6).
Vektor EG = G - E = (6,6,6) - (6,0,0) = (0,6,6).
Vektor BG = G - B = (6,6,6) - (6,0,6) = (0,6,0).

Bidang BEG dapat direpresentasikan oleh vektor normalnya. Namun, ini menjadi rumit.

Mari kita gunakan pendekatan geometris:

Garis DH tegak lurus dengan bidang ABCD. Bidang BEG memotong bidang ABCD pada garis BG.
Sudut antara garis DH (yang sejajar AE, BF, CG) dan bidang BEG adalah sama dengan sudut antara garis AE dan bidang BEG. Atau CG dan bidang BEG.

Misalkan kita tinjau segitiga EBG. AE tegak lurus dengan bidang EFGH, dan juga tegak lurus dengan EB dan EH.
Namun, segitiga EBG bukan segitiga siku-siku di E. EG = akar(6^2 + 6^2) = 6 akar(2). EB = 6. BG = 6.
Ini adalah segitiga sama kaki.

Mari kita gunakan sudut antara DH dan bidang BEG.
DH tegak lurus bidang ABCD.
Proyeksi DH pada bidang BEG. Perhatikan bidang EFGH. AE tegak lurus EG. AE sejajar DH.

Mari kita cari sudut antara AE dan bidang BEG. AE = DH = 6.
Bidang BEG. Garis EG. Garis EB. Garis BG.
Sudut antara AE dan bidang BEG adalah sudut antara AE dan proyeksinya pada bidang BEG.

Perhatikan bahwa titik H berada pada posisi (0,0,6) jika D=(0,0,0). Garis DH adalah sumbu z.
Bidang BEG melalui titik B(6,0,6), E(6,0,0), G(6,6,6).
Sebuah vektor normal untuk bidang BEG adalah n = EB x EG = (0,0,6) x (0,6,6) = (-36, 0, 0). Jadi bidang BEG adalah x=6.
Ini salah, karena titik G adalah (6,6,6) dan E adalah (6,0,0). Jadi vektor normalnya sejajar dengan sumbu y.

Mari kita ulang koordinat:
D=(0,0,0), A=(6,0,0), B=(6,6,0), C=(0,6,0)
E=(0,0,6), F=(6,0,6), G=(6,6,6), H=(0,6,6)

Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm.
Garis DH: dari D(0,0,0) ke H(0,6,6). Vektor DH = (0,6,6).
Garis DH adalah garis dari (0,0,0) ke (0,6,6).

Bidang BEG: B(6,6,0), E(0,0,6), G(6,6,6).

Kita perlu mencari tangen sudut antara garis DH dan bidang BEG.
Misalkan theta adalah sudut antara garis DH dan bidang BEG. Maka sin(theta) = |(DH . n)| / (||DH|| ||n||), di mana n adalah vektor normal bidang BEG.

Cari vektor normal bidang BEG:
VE = E - B = (0,0,6) - (6,6,0) = (-6, -6, 6)
VG = G - B = (6,6,6) - (6,6,0) = (0, 0, 6)

n = VE x VG = (-6, -6, 6) x (0, 0, 6) = (-36, 36, 0).
Kita bisa menyederhanakan n menjadi (-1, 1, 0).

Vektor DH = (0, 6, 6).
||DH|| = sqrt(0^2 + 6^2 + 6^2) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6 sqrt(2).
||n|| = sqrt((-1)^2 + 1^2 + 0^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2).

DH . n = (0)(-1) + (6)(1) + (6)(0) = 0 + 6 + 0 = 6.

sin(theta) = |6| / ((6 sqrt(2)) * sqrt(2)) = 6 / (6 * 2) = 6 / 12 = 1/2.

Jika sin(theta) = 1/2, maka theta = 30 derajat.

Kita perlu mencari tangen sudutnya. Jika sin(theta) = 1/2, maka cos(theta) = sqrt(1 - sin^2(theta)) = sqrt(1 - (1/2)^2) = sqrt(1 - 1/4) = sqrt(3/4) = sqrt(3)/2.

tan(theta) = sin(theta) / cos(theta) = (1/2) / (sqrt(3)/2) = 1/sqrt(3) = sqrt(3)/3.

Jawaban: Nilai tangen sudut antara garis DH dan bidang BEG adalah sqrt(3)/3.