Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Tentukan dan

a. 90 derajat, b. 90 derajat, c. 30 derajat.

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk a cm.

a. Sudut antara bidang ADHE dan bidang ABCD:
Bidang ADHE adalah bidang vertikal yang dibatasi oleh rusuk AD dan EH. Bidang ABCD adalah bidang alas horizontal yang dibatasi oleh rusuk AB, BC, CD, dan DA.
Garis potong kedua bidang ini adalah garis AD.
Untuk mencari sudut antara dua bidang, kita ambil titik pada garis potong (misalnya A) dan tarik garis tegak lurus terhadap garis potong pada masing-masing bidang.
Pada bidang ABCD, garis yang tegak lurus AD dan berada pada bidang tersebut adalah AB (karena ABCD adalah persegi).
Pada bidang ADHE, garis yang tegak lurus AD dan berada pada bidang tersebut adalah AE (karena ADHE adalah persegi).
Sudut antara bidang ADHE dan bidang ABCD adalah sudut antara garis AB dan AE, yaitu sudut BAE.
Karena ABCD.EFGH adalah kubus, semua rusuknya tegak lurus satu sama lain. Maka, sudut BAE adalah 90 derajat.

b. Sudut antara bidang ABGH dan bidang ABCD:
Bidang ABGH adalah bidang diagonal yang dibentuk oleh rusuk AB, BG, GH, dan HA. Bidang ABCD adalah bidang alas.
Garis potong kedua bidang ini adalah garis AB.
Garis yang tegak lurus AB pada bidang ABCD adalah AD atau BC.
Garis yang tegak lurus AB pada bidang ABGH adalah AH atau BG.
Sudut antara bidang ABGH dan bidang ABCD adalah sudut antara garis AH (atau BG) dan garis AD (atau BC).
Misalnya, kita ambil sudut antara AH dan AD. Sudut HAD.
Karena ADHE adalah persegi, sudut HAD adalah 90 derajat.

c. Sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD:
Bidang BDG dibentuk oleh diagonal alas BD, diagonal ruang DG, dan diagonal sisi BG.
Bidang ABCD adalah bidang alas.
Garis potong kedua bidang ini adalah garis BD.
Garis yang tegak lurus BD pada bidang ABCD adalah garis yang melalui titik tengah BD (titik O) dan tegak lurus BD. Garis ini adalah GO (jika O adalah titik tengah BD, maka GO tegak lurus BD).
Garis yang tegak lurus BD pada bidang BDG adalah garis DG (atau BG).
Untuk mencari sudut antara bidang BDG dan ABCD, kita perlu mencari sudut antara garis GO dan garis DG (atau BG).
Mari kita cari sudut antara GO dan DG.
Segitiga BDG adalah segitiga siku-siku di G (karena BG tegak lurus DG).
Dalam kubus, panjang diagonal alas BD = a√2.
Panjang rusuk = a.
Panjang diagonal sisi BG = a√2.
Panjang diagonal ruang DG = a√3.
Segitiga BGD adalah segitiga siku-siku di B, bukan G. Diagonal ruang DG tidak tegak lurus BG.

Mari kita tinjau ulang cara mencari sudut antar bidang.
Kita ambil titik pada garis potong BD, yaitu titik D.
Garis pada bidang ABCD yang tegak lurus BD adalah garis CD (atau AD).
Garis pada bidang BDG yang tegak lurus BD adalah garis DG (karena segitiga BDG siku-siku di G, maka BG tegak lurus DG, dan BD adalah alasnya).
Ini masih membingungkan.

Metode lain: Gunakan vektor.

Mari kita gunakan pendekatan geometris yang lebih sederhana.

a. Sudut antara bidang ADHE dan ABCD:
Ini adalah sudut antara rusuk AE dan AB, yaitu 90 derajat.

b. Sudut antara bidang ABGH dan bidang ABCD:
Ini adalah sudut antara diagonal bidang ABGH (misalnya AH) dan diagonal bidang ABCD (misalnya AD), yaitu 90 derajat.

c. Sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD:
Garis potongnya adalah BD.
Kita perlu mencari garis pada ABCD yang tegak lurus BD, yaitu garis yang melalui pusat ABCD dan sejajar AD/BC. Misal O adalah titik tengah BD. Garis yang sejajar AD dan melalui O adalah garis yang sejajar EH dan FG.
Pada bidang BDG, kita perlu mencari garis yang tegak lurus BD.

Mari kita gunakan proyeksi.
Proyeksikan rusuk BG pada bidang ABCD. Proyeksi BG pada ABCD adalah BD.
Sudut antara bidang BDG dan ABCD adalah sudut antara BG dan proyeksinya pada ABCD, yaitu BD. Ini adalah sudut DBG.
Dalam segitiga siku-siku BCD, tan(BDC) = BC/CD = a/a = 1, maka sudut BDC = 45 derajat.
Dalam segitiga siku-siku BCG, BG = a√2.
Dalam segitiga siku-siku BCD, BD = a√2.
Dalam segitiga siku-siku ABG, BG = a√2.

Perhatikan segitiga BDG. BD = a√2, BG = a√2, DG = a√3.
Ini adalah segitiga sama kaki.
Untuk mencari sudut antara bidang BDG dan ABCD, kita perlu mencari sudut antara garis yang tegak lurus BD pada ABCD dan garis yang tegak lurus BD pada BDG.
Misal O adalah titik tengah BD. Maka AO tegak lurus BD (pada bidang ABCD) dan GO tegak lurus BD (pada bidang BDG).
Jadi sudut yang kita cari adalah sudut AGO.
Panjang AO = 1/2 * BD = 1/2 * a√2 = a√2/2.
Panjang GO adalah tinggi segitiga sama kaki BDG dari G ke BD.
Karena segitiga BDG sama kaki dengan BD = BG = a√2, maka titik O (tengah BD) adalah proyeksi G pada BD.
Segitiga BGO adalah siku-siku di O.
Dalam segitiga siku-siku BCG, BG = a√2.
Perhatikan segitiga BOG. BG = a√2. BO = a√2/2.
$GO^2 = BG^2 - BO^2 = (a\sqrt{2})^2 - (a\sqrt{2}/2)^2 = 2a^2 - (2a^2/4) = 2a^2 - a^2/2 = 3a^2/2$
$GO = \sqrt{3a^2/2} = a\sqrt{3/2} = a\sqrt{6}/2$.

Sekarang kita punya segitiga siku-siku AGO, siku-siku di O.
AO = a√2/2.
GO = a√6/2.
Kita perlu mencari sudut AGO.
$	an(AGO) = AO / GO = (a\sqrt{2}/2) / (a\sqrt{6}/2) = \sqrt{2} / \sqrt{6} = \sqrt{2/6} = \sqrt{1/3} = 1/\sqrt{3}$.
Jadi, sudut AGO = 30 derajat.

Jadi:
a. Sudut antara bidang ADHE dan bidang ABCD adalah 90 derajat.
b. Sudut antara bidang ABGH dan bidang ABCD adalah 90 derajat.
c. Sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD adalah 30 derajat.