Diketahui kurva y=cos ^(2)(x+15) pada interval 0 <= x <= 90

Persamaan garis singgungnya adalah y = 1/2 x - 45 + (2 - √3)/4.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis 6x + 3y - 1 = 0 pada kurva y = cos²(x + 15), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Tentukan gradien garis yang diberikan:**
Garis 6x + 3y - 1 = 0 dapat diubah ke bentuk y = mx + c untuk mencari gradiennya (m).
3y = -6x + 1
y = -2x + 1/3
Gradien garis ini (m1) adalah -2.

2.  **Tentukan gradien garis singgung:**
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis yang diberikan, maka hasil kali gradien keduanya adalah -1 (m1 * m2 = -1).
-2 * m2 = -1
m2 = 1/2
Jadi, gradien garis singgung yang kita cari adalah 1/2.

3.  **Cari turunan pertama dari kurva y = cos²(x + 15):**
Kita akan menggunakan aturan rantai untuk menurunkan fungsi ini.
Misalkan u = cos(x + 15), maka y = u².

dy/du = 2u
du/dx = -sin(x + 15) * d(x+15)/dx = -sin(x + 15) * 1 = -sin(x + 15)

dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * (-sin(x + 15))
dy/dx = 2 cos(x + 15) * (-sin(x + 15))
dy/dx = -2 sin(x + 15) cos(x + 15)

Menggunakan identitas trigonometri 2 sinA cosA = sin(2A), kita dapat menyederhanakan turunan ini:
dy/dx = -sin(2(x + 15))
dy/dx = -sin(2x + 30)

4.  **Samakan turunan pertama dengan gradien garis singgung:**
Gradien garis singgung (m2) adalah 1/2. Jadi, kita samakan turunan pertama dengan 1/2.
-sin(2x + 30) = 1/2
sin(2x + 30) = -1/2

Dalam interval 0 ≤ x ≤ 90 derajat:
2x berada dalam interval 0 ≤ 2x ≤ 180 derajat.
2x + 30 berada dalam interval 30 ≤ 2x + 30 ≤ 210 derajat.

Nilai sudut di mana sinus bernilai -1/2 dalam interval ini adalah 210 derajat (sin(210°) = -1/2).

Jadi, 2x + 30 = 210
2x = 210 - 30
2x = 180
x = 90

5.  **Tentukan nilai y pada kurva di titik x = 90:**
y = cos²(x + 15)
y = cos²(90 + 15)
y = cos²(105°)
Kita tahu bahwa cos(105°) = cos(60° + 45°) = cos60°cos45° - sin60°sin45° = (1/2)(√2/2) - (√3/2)(√2/2) = (√2 - √6)/4.
Maka, y = ((√2 - √6)/4)² = (2 - 2√12 + 6) / 16 = (8 - 4√3) / 16 = (2 - √3) / 4.

6.  **Tentukan persamaan garis singgung:**
Kita memiliki gradien (m) = 1/2 dan titik singgung (x1, y1) = (90, (2 - √3)/4).
Menggunakan rumus persamaan garis y - y1 = m(x - x1):
y - (2 - √3)/4 = 1/2 (x - 90)
y = 1/2 x - 45 + (2 - √3)/4
Untuk menyederhanakan, kita bisa menyamakan penyebutnya:
y = (2x - 180 + 2 - √3) / 4
y = (2x - 178 - √3) / 4
Atau dalam bentuk Ax + By + C = 0:
4y = 2x - 178 - √3
2x - 4y - 178 - √3 = 0

**Catatan:** Ada kemungkinan terdapat nilai x lain dalam interval yang memenuhi sin(2x + 30) = -1/2 jika intervalnya lebih luas. Namun, dalam interval yang diberikan (0 ≤ x ≤ 90), hanya x = 90 yang memenuhi.

Persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis 6x + 3y - 1 = 0 pada kurva y = cos²(x + 15) adalah y = 1/2 x - 45 + (2 - √3)/4 atau 2x - 4y - 178 - √3 = 0.