Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12mathMatematika

Diketahui kurva y=cos ^(2)(x+15) pada interval 0 <= x <= 90

Pertanyaan

Diketahui kurva y = cos²(x + 15) pada interval 0 ≤ x ≤ 90. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis 6x + 3y - 1 = 0.

Solusi

Verified

Persamaan garis singgungnya adalah y = 1/2 x - 45 + (2 - √3)/4.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis 6x + 3y - 1 = 0 pada kurva y = cos²(x + 15), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut: 1. **Tentukan gradien garis yang diberikan:** Garis 6x + 3y - 1 = 0 dapat diubah ke bentuk y = mx + c untuk mencari gradiennya (m). 3y = -6x + 1 y = -2x + 1/3 Gradien garis ini (m1) adalah -2. 2. **Tentukan gradien garis singgung:** Karena garis singgung tegak lurus dengan garis yang diberikan, maka hasil kali gradien keduanya adalah -1 (m1 * m2 = -1). -2 * m2 = -1 m2 = 1/2 Jadi, gradien garis singgung yang kita cari adalah 1/2. 3. **Cari turunan pertama dari kurva y = cos²(x + 15):** Kita akan menggunakan aturan rantai untuk menurunkan fungsi ini. Misalkan u = cos(x + 15), maka y = u². dy/du = 2u du/dx = -sin(x + 15) * d(x+15)/dx = -sin(x + 15) * 1 = -sin(x + 15) dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * (-sin(x + 15)) dy/dx = 2 cos(x + 15) * (-sin(x + 15)) dy/dx = -2 sin(x + 15) cos(x + 15) Menggunakan identitas trigonometri 2 sinA cosA = sin(2A), kita dapat menyederhanakan turunan ini: dy/dx = -sin(2(x + 15)) dy/dx = -sin(2x + 30) 4. **Samakan turunan pertama dengan gradien garis singgung:** Gradien garis singgung (m2) adalah 1/2. Jadi, kita samakan turunan pertama dengan 1/2. -sin(2x + 30) = 1/2 sin(2x + 30) = -1/2 Dalam interval 0 ≤ x ≤ 90 derajat: 2x berada dalam interval 0 ≤ 2x ≤ 180 derajat. 2x + 30 berada dalam interval 30 ≤ 2x + 30 ≤ 210 derajat. Nilai sudut di mana sinus bernilai -1/2 dalam interval ini adalah 210 derajat (sin(210°) = -1/2). Jadi, 2x + 30 = 210 2x = 210 - 30 2x = 180 x = 90 5. **Tentukan nilai y pada kurva di titik x = 90:** y = cos²(x + 15) y = cos²(90 + 15) y = cos²(105°) Kita tahu bahwa cos(105°) = cos(60° + 45°) = cos60°cos45° - sin60°sin45° = (1/2)(√2/2) - (√3/2)(√2/2) = (√2 - √6)/4. Maka, y = ((√2 - √6)/4)² = (2 - 2√12 + 6) / 16 = (8 - 4√3) / 16 = (2 - √3) / 4. 6. **Tentukan persamaan garis singgung:** Kita memiliki gradien (m) = 1/2 dan titik singgung (x1, y1) = (90, (2 - √3)/4). Menggunakan rumus persamaan garis y - y1 = m(x - x1): y - (2 - √3)/4 = 1/2 (x - 90) y = 1/2 x - 45 + (2 - √3)/4 Untuk menyederhanakan, kita bisa menyamakan penyebutnya: y = (2x - 180 + 2 - √3) / 4 y = (2x - 178 - √3) / 4 Atau dalam bentuk Ax + By + C = 0: 4y = 2x - 178 - √3 2x - 4y - 178 - √3 = 0 **Catatan:** Ada kemungkinan terdapat nilai x lain dalam interval yang memenuhi sin(2x + 30) = -1/2 jika intervalnya lebih luas. Namun, dalam interval yang diberikan (0 ≤ x ≤ 90), hanya x = 90 yang memenuhi. Persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis 6x + 3y - 1 = 0 pada kurva y = cos²(x + 15) adalah y = 1/2 x - 45 + (2 - √3)/4 atau 2x - 4y - 178 - √3 = 0.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Kalkulus, Garis Singgung, Turunan Fungsi Trigonometri
Section: Menentukan Persamaan Garis Singgung

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...