Diketahui lim x -> 1 f(x)/(x-1) = -2 dan lim x -> 3

f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 3

Pembahasan

Misalkan f(x) adalah fungsi berderajat 3. Karena lim x -> 1 f(x)/(x-1) = -2, maka f(1) = 0, yang berarti (x-1) adalah salah satu faktor dari f(x). Demikian pula, karena lim x -> 3 f(x)/(x-3) = 10, maka f(3) = 0, yang berarti (x-3) adalah salah satu faktor dari f(x).

Karena f(x) berderajat 3, maka f(x) dapat ditulis sebagai f(x) = a(x-1)(x-3)(x-c) untuk suatu konstanta a dan c.

Menggunakan limit yang diberikan:
lim x -> 1 [a(x-1)(x-3)(x-c)] / (x-1) = -2
a(1-3)(1-c) = -2
a(-2)(1-c) = -2
-2a(1-c) = -2
a(1-c) = 1 (Persamaan 1)

lim x -> 3 [a(x-1)(x-3)(x-c)] / (x-3) = 10
a(3-1)(3-c) = 10
a(2)(3-c) = 10
2a(3-c) = 10
a(3-c) = 5 (Persamaan 2)

Dari Persamaan 1, a = 1/(1-c).
Substitusikan ke Persamaan 2:
[1/(1-c)](3-c) = 5
3-c = 5(1-c)
3-c = 5-5c
4c = 2
c = 1/2

Maka, a = 1/(1-1/2) = 1/(1/2) = 2.

Jadi, rumus fungsi f(x) adalah f(x) = 2(x-1)(x-3)(x-1/2).

f(x) = 2(x^2 - 4x + 3)(x - 1/2)
f(x) = 2(x^3 - 1/2x^2 - 4x^2 + 2x + 3x - 3/2)
f(x) = 2(x^3 - 9/2x^2 + 5x - 3/2)
f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 3