Diketahui lim x->a f(x)=A dan lim x->a g(x)=B. Dengan

Pembuktian sifat perkalian limit menggunakan definisi epsilon-delta.

Pembahasan

Pembuktian sifat perkalian limit: \nDiketahui lim x->a f(x) = A dan lim x->a g(x) = B. \nKita ingin membuktikan bahwa lim x->a [f(x).g(x)] = A.B \nMenurut definisi limit, untuk setiap epsilon \(\epsilon\) > 0, terdapat \(\delta_1\) > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x - a| < \(\delta_1\), maka |f(x) - A| < \(\epsilon_1\). \nJuga, terdapat \(\delta_2\) > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x - a| < \(\delta_2\), maka |g(x) - B| < \(\epsilon_2\). \nAmbil \(\delta = min(\delta_1, \delta_2)\). Maka jika 0 < |x - a| < \(\delta\), berlaku |f(x) - A| < \(\epsilon_1\) dan |g(x) - B| < \(\epsilon_2\). \nSekarang kita tinjau |f(x).g(x) - A.B|: \n|f(x).g(x) - A.B| = |f(x).g(x) - A.g(x) + A.g(x) - A.B| \n= |g(x)(f(x) - A) + A(g(x) - B)| \n= |g(x)(f(x) - A) + A(g(x) - B)| \n≤ |g(x)||f(x) - A| + |A||g(x) - B| \nKita tahu bahwa |g(x) - B| < \(\epsilon_2\), sehingga |g(x)| < |B| + \(\epsilon_2\). \nJika kita memilih \(\epsilon_1 = \(\epsilon\) / (2(|B| + \(\epsilon_2\))) dan \(\epsilon_2 = \(\epsilon\) / (2|A|), maka \n|f(x).g(x) - A.B| < (|B| + \(\epsilon_2\))(\(\epsilon\) / (2(|B| + \(\epsilon_2\)))) + |A|(\(\epsilon\) / (2|A|)) \n= \(\epsilon\)/2 + \(\epsilon\)/2 \n= \(\epsilon\) \nIni menunjukkan bahwa lim x->a [f(x).g(x)] = A.B.