Diketahui limas segitiga beraturan R.ABC dengan panjang

Nilai sin α adalah (2√2)/3.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai sin α pada limas segitiga beraturan R.ABC dengan panjang rusuk 10 cm, di mana α adalah sudut antara bidang TAB dan bidang ABC, kita perlu menggunakan konsep geometri ruang dan trigonometri.

Limas segitiga beraturan R.ABC berarti alas ABC adalah segitiga sama sisi, dan rusuk-rusuk tegaknya (RA, RB, RC) sama panjang.
Diketahui panjang rusuk = 10 cm. Jadi, AB = BC = AC = 10 cm, dan RA = RB = RC = 10 cm.

Sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah sudut di antara dua garis yang tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang tersebut pada satu titik.
Garis potong kedua bidang adalah AB.

Kita perlu mencari dua garis, satu di bidang TAB dan satu di bidang ABC, yang keduanya tegak lurus terhadap AB dan berpotongan di satu titik pada AB.

Karena limas beraturan, alas ABC adalah segitiga sama sisi. Tinggi dari titik C ke AB akan tegak lurus AB. Mari kita sebut titik tengah AB sebagai M. Maka CM tegak lurus AB.

Pada bidang TAB, karena TAB adalah segitiga sama sisi (karena alasnya sama sisi dan rusuk tegaknya sama panjang), maka tinggi dari titik R ke AB juga akan tegak lurus AB. Misalkan titik tengah AB adalah M. Maka RM tegak lurus AB.

Dengan demikian, sudut α adalah sudut antara CM dan RM, yaitu sudut ∠RMC.

Kita perlu mencari panjang CM, RM, dan RC (atau CR).

1. Panjang CM:
CM adalah tinggi segitiga sama sisi ABC dengan sisi 10 cm. Rumus tinggi segitiga sama sisi adalah (s√3)/2.
CM = (10√3)/2 = 5√3 cm.

2. Panjang RM:
RM adalah tinggi segitiga sama sisi TAB dengan sisi 10 cm. Sama seperti CM, RM = (10√3)/2 = 5√3 cm.

3. Panjang RC:
RC adalah rusuk tegak limas, yang diketahui adalah 10 cm.

Sekarang kita memiliki segitiga RMC, dengan sisi RM = 5√3 cm, CM = 5√3 cm, dan RC = 10 cm. Sudut α adalah ∠RMC.

Kita bisa menggunakan aturan kosinus pada segitiga RMC untuk mencari cos α, atau kita bisa melihat bahwa segitiga RMC adalah segitiga sama kaki. Kita bisa menurunkan garis tinggi dari R ke CM (atau dari C ke RM, atau dari M ke RC). Namun, lebih mudah menggunakan segitiga siku-siku yang terbentuk jika kita tahu sisi-sisinya.

Mari kita gunakan segitiga siku-siku yang terbentuk jika kita menarik garis tinggi dari M ke RC, atau jika kita memproyeksikan R ke bidang ABC. Namun, kita sudah punya segitiga RMC.

Jika kita ingin mencari sin α, kita perlu segitiga siku-siku yang memiliki sudut α. Dalam segitiga RMC, kita bisa menarik garis tinggi dari R ke CM. Namun, ini akan membagi CM. Atau kita bisa melihat segitiga RMC itu sendiri.

Untuk mencari sin α (sudut ∠RMC), kita perlu sisi depan sudut α (yaitu RC) dan sisi miringnya. Namun, ini bukan segitiga siku-siku.

Cara yang benar adalah menggunakan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh tinggi limas. Misalkan O adalah titik pusat segitiga ABC (titik berat). Maka RO adalah tinggi limas.
Namun, kita diminta sudut antara bidang TAB dan ABC.

Kembali ke segitiga RMC. Kita punya sisi RM = 5√3, CM = 5√3, RC = 10. Sudut α adalah ∠RMC.
Kita bisa menggunakan aturan kosinus untuk mencari cos α:
RC² = RM² + CM² - 2 * RM * CM * cos α
10² = (5√3)² + (5√3)² - 2 * (5√3) * (5√3) * cos α
100 = (25 * 3) + (25 * 3) - 2 * (25 * 3) * cos α
100 = 75 + 75 - 2 * 75 * cos α
100 = 150 - 150 * cos α
150 * cos α = 150 - 100
150 * cos α = 50
cos α = 50 / 150
cos α = 1/3

Sekarang kita perlu mencari sin α. Kita tahu bahwa sin² α + cos² α = 1.
sin² α = 1 - cos² α
sin² α = 1 - (1/3)²
sin² α = 1 - 1/9
sin² α = 8/9
sin α = √(8/9)
sin α = (√8) / 3
sin α = (2√2) / 3

Jadi, nilai sin α adalah (2√2)/3.