Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathGeometri
Diketahui limas T ABC beraturan dengan panjang rusuk 8 cm.
Pertanyaan
Diketahui limas T ABC beraturan dengan panjang rusuk 8 cm. Titik P terletak pada pertengahan TA dan titik Q pada pertengahan BC. Berapakah jarak titik P ke titik Q?
Solusi
Verified
4 akar(2) cm
Pembahasan
Untuk menentukan jarak titik P ke titik Q, kita perlu memvisualisasikan limas T ABC yang beraturan. Ini berarti alas segitiga ABC adalah segitiga sama sisi, dan sisi-sisi tegaknya (TA, TB, TC) sama panjang dengan rusuk alas. Diketahui panjang rusuk adalah 8 cm. Maka TA = TB = TC = AB = BC = AC = 8 cm. Titik P terletak pada pertengahan TA, sehingga TP = PA = 8/2 = 4 cm. Titik Q terletak pada pertengahan BC, sehingga BQ = QC = 8/2 = 4 cm. Kita perlu mencari jarak PQ. Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras atau vektor. Cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan koordinat atau membayangkan segitiga siku-siku. Mari kita gunakan pendekatan geometri: 1. Proyeksikan P ke alas ABC. Karena P di tengah TA, proyeksi P (misalnya P') akan berada di titik berat segitiga ABC. Namun, ini tidak membantu langsung mencari PQ. 2. Pertimbangkan segitiga TBC. Q adalah titik tengah BC. TQ adalah tinggi segitiga sama kaki TBC. Dengan alas BC = 8, maka BQ = 4. Dengan sisi TB = 8, kita bisa hitung TQ menggunakan Pythagoras pada segitiga TQB (siku-siku di Q): TQ^2 + BQ^2 = TB^2 => TQ^2 + 4^2 = 8^2 => TQ^2 + 16 = 64 => TQ^2 = 48 => TQ = akar(48) = 4*akar(3). 3. Sekarang kita punya segitiga TPQ. Kita perlu sudut antara TP dan TQ, atau panjang PT, TQ, dan PQ. Kita tahu PT = 4 dan TQ = 4*akar(3). Namun, kita tidak tahu sudut PTQ secara langsung. 4. Mari coba pendekatan lain: Buat garis bantu. Anggap alas ABC berada pada bidang xy. Titik T berada di atasnya. Karena limas beraturan, kita bisa menempatkan A, B, C. Misal B = (0,0), C = (8,0). Maka Q = (4,0). Untuk mencari koordinat A, kita perlu segitiga sama sisi. Jarak AB=8, AC=8, BC=8. Jika B=(0,0) dan C=(8,0), maka A harus berada pada jarak 8 dari B dan C. Titik A akan memiliki koordinat (4, 4*akar(3)). Sekarang kita perlu koordinat T. T berada di atas titik berat segitiga ABC. Titik berat G = ((0+8+4)/3, (0+0+4*akar(3))/3) = (12/3, 4*akar(3)/3) = (4, 4*akar(3)/3). Tinggi limas (jarak T ke alas) bisa dihitung. Misalnya, dari segitiga TBC, TQ adalah tinggi di sisi alas. TQ = 4*akar(3). Koordinat T bisa kita letakkan di (4, 4*akar(3)/3, h), dimana h adalah tinggi limas. Kita tahu TA = 8. Jarak T ke A = sqrt((4-4)^2 + (4*akar(3)/3 - 4*akar(3))^2 + h^2) = 8. sqrt(0 + (-8*akar(3)/3)^2 + h^2) = 8 sqrt(64*3/9 + h^2) = 8 sqrt(64/3 + h^2) = 8 64/3 + h^2 = 64 h^2 = 64 - 64/3 = (192-64)/3 = 128/3 h = sqrt(128/3) = 8*akar(2)/akar(3) = 8*akar(6)/3. Sekarang kita punya koordinat: T = (4, 4*akar(3)/3, 8*akar(6)/3) A = (4, 4*akar(3), 0) (Kita letakkan alas di z=0) P adalah pertengahan TA. P = ((4+4)/2, (4*akar(3)/3 + 4*akar(3))/2, (8*akar(6)/3 + 0)/2) P = (4, (16*akar(3)/3)/2, 4*akar(6)/3) P = (4, 8*akar(3)/3, 4*akar(6)/3) Q adalah pertengahan BC. B=(0,0,0), C=(8,0,0). Maka Q=(4,0,0). Sekarang hitung jarak PQ: PQ = sqrt((4-4)^2 + (8*akar(3)/3 - 0)^2 + (4*akar(6)/3 - 0)^2) PQ = sqrt(0 + (64*3/9) + (16*6/9)) PQ = sqrt(64/3 + 96/9) PQ = sqrt(64/3 + 32/3) PQ = sqrt(96/3) PQ = sqrt(32) PQ = 4*akar(2). Jawaban: Jarak titik P ke titik Q adalah 4 akar(2) cm.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Dimensi Tiga
Section: Jarak Titik Ke Garis Titik Lain
Apakah jawaban ini membantu?