Diketahui limas T ABC beraturan dengan panjang rusuk 8 cm.

4 akar(2) cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik P ke titik Q, kita perlu memvisualisasikan limas T ABC yang beraturan. Ini berarti alas segitiga ABC adalah segitiga sama sisi, dan sisi-sisi tegaknya (TA, TB, TC) sama panjang dengan rusuk alas.

Diketahui panjang rusuk adalah 8 cm. Maka TA = TB = TC = AB = BC = AC = 8 cm.
Titik P terletak pada pertengahan TA, sehingga TP = PA = 8/2 = 4 cm.
Titik Q terletak pada pertengahan BC, sehingga BQ = QC = 8/2 = 4 cm.

Kita perlu mencari jarak PQ. Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras atau vektor. Cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan koordinat atau membayangkan segitiga siku-siku.

Mari kita gunakan pendekatan geometri:
1. Proyeksikan P ke alas ABC. Karena P di tengah TA, proyeksi P (misalnya P') akan berada di titik berat segitiga ABC. Namun, ini tidak membantu langsung mencari PQ.
2. Pertimbangkan segitiga TBC. Q adalah titik tengah BC. TQ adalah tinggi segitiga sama kaki TBC. Dengan alas BC = 8, maka BQ = 4. Dengan sisi TB = 8, kita bisa hitung TQ menggunakan Pythagoras pada segitiga TQB (siku-siku di Q): TQ^2 + BQ^2 = TB^2 => TQ^2 + 4^2 = 8^2 => TQ^2 + 16 = 64 => TQ^2 = 48 => TQ = akar(48) = 4*akar(3).
3. Sekarang kita punya segitiga TPQ. Kita perlu sudut antara TP dan TQ, atau panjang PT, TQ, dan PQ. Kita tahu PT = 4 dan TQ = 4*akar(3). Namun, kita tidak tahu sudut PTQ secara langsung. 
4. Mari coba pendekatan lain: Buat garis bantu.
   Anggap alas ABC berada pada bidang xy. Titik T berada di atasnya. Karena limas beraturan, kita bisa menempatkan A, B, C.
   Misal B = (0,0), C = (8,0). Maka Q = (4,0).
   Untuk mencari koordinat A, kita perlu segitiga sama sisi. Jarak AB=8, AC=8, BC=8. Jika B=(0,0) dan C=(8,0), maka A harus berada pada jarak 8 dari B dan C. Titik A akan memiliki koordinat (4, 4*akar(3)).
   Sekarang kita perlu koordinat T. T berada di atas titik berat segitiga ABC. Titik berat G = ((0+8+4)/3, (0+0+4*akar(3))/3) = (12/3, 4*akar(3)/3) = (4, 4*akar(3)/3).
   Tinggi limas (jarak T ke alas) bisa dihitung. Misalnya, dari segitiga TBC, TQ adalah tinggi di sisi alas. TQ = 4*akar(3).
   Koordinat T bisa kita letakkan di (4, 4*akar(3)/3, h), dimana h adalah tinggi limas.
   Kita tahu TA = 8. Jarak T ke A = sqrt((4-4)^2 + (4*akar(3)/3 - 4*akar(3))^2 + h^2) = 8.
   sqrt(0 + (-8*akar(3)/3)^2 + h^2) = 8
   sqrt(64*3/9 + h^2) = 8
   sqrt(64/3 + h^2) = 8
   64/3 + h^2 = 64
   h^2 = 64 - 64/3 = (192-64)/3 = 128/3
   h = sqrt(128/3) = 8*akar(2)/akar(3) = 8*akar(6)/3.

   Sekarang kita punya koordinat:
   T = (4, 4*akar(3)/3, 8*akar(6)/3)
   A = (4, 4*akar(3), 0)  (Kita letakkan alas di z=0)
   P adalah pertengahan TA. P = ((4+4)/2, (4*akar(3)/3 + 4*akar(3))/2, (8*akar(6)/3 + 0)/2)
   P = (4, (16*akar(3)/3)/2, 4*akar(6)/3)
   P = (4, 8*akar(3)/3, 4*akar(6)/3)

   Q adalah pertengahan BC. B=(0,0,0), C=(8,0,0). Maka Q=(4,0,0).

   Sekarang hitung jarak PQ:
   PQ = sqrt((4-4)^2 + (8*akar(3)/3 - 0)^2 + (4*akar(6)/3 - 0)^2)
   PQ = sqrt(0 + (64*3/9) + (16*6/9))
   PQ = sqrt(64/3 + 96/9)
   PQ = sqrt(64/3 + 32/3)
   PQ = sqrt(96/3)
   PQ = sqrt(32)
   PQ = 4*akar(2).

   Jawaban: Jarak titik P ke titik Q adalah 4 akar(2) cm.