Diketahui limas tegak T.ABCD dengan bidang alas ABCD

24/65

Pembahasan

Untuk mencari sinus sudut antara garis AT dengan bidang TBD, kita perlu melakukan beberapa langkah:

1.  **Tentukan Koordinat Titik:**
    Misalkan titik A=(0,0,0), B=(8,0,0), D=(0,6,0). Karena T.ABCD adalah limas tegak, maka T berada tepat di atas pusat alas. Pusat alas ABCD adalah titik tengah diagonal AC, yaitu (4,3,0).
    Karena TA = 13 cm, kita bisa menghitung tinggi limas (T ke pusat alas) menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh TA, tinggi limas, dan setengah diagonal alas. Setengah diagonal alas AC = 1/2 * sqrt(8^2 + 6^2) = 1/2 * sqrt(64 + 36) = 1/2 * sqrt(100) = 5 cm.
    Tinggi limas (t) = sqrt(TA^2 - (setengah diagonal)^2) = sqrt(13^2 - 5^2) = sqrt(169 - 25) = sqrt(144) = 12 cm.
    Jadi, koordinat titik T adalah (4,3,12).

2.  **Tentukan Vektor-vektor yang Relevan:**
    *   Vektor AT = T - A = (4,3,12) - (0,0,0) = (4,3,12).
    *   Untuk mencari sudut dengan bidang TBD, kita perlu vektor normal bidang TBD. Kita bisa menggunakan vektor TB dan TD.
        TB = B - T = (8,0,0) - (4,3,12) = (4,-3,-12).
        TD = D - T = (0,6,0) - (4,3,12) = (-4,3,-12).
    *   Vektor normal bidang TBD (n) adalah hasil perkalian silang TB x TD:
        n = TB x TD = |
        i   j   k  |
        | 4  -3 -12 |
        | -4  3 -12 |
        |
        n = i((-3)(-12) - (-12)(3)) - j((4)(-12) - (-12)(-4)) + k((4)(3) - (-3)(-4))
        n = i(36 + 36) - j(-48 - 48) + k(12 - 12)
        n = 72i + 96j + 0k = (72, 96, 0).
        Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi n = (3, 4, 0) dengan membagi dengan 24.

3.  **Hitung Sinus Sudut:**
    Sudut alpha (a) antara garis AT dengan bidang TBD adalah sudut antara vektor AT dan proyeksinya pada bidang TBD. Ini sama dengan sudut antara vektor AT dan vektor normal bidang TBD, yang komplementernya adalah alpha.
    Sinus sudut antara garis dan bidang diberikan oleh rumus:
    sin(a) = |AT . n| / (||AT|| * ||n||)
    *   AT . n = (4,3,12) . (3,4,0) = (4)(3) + (3)(4) + (12)(0) = 12 + 12 + 0 = 24.
    *   ||AT|| = sqrt(4^2 + 3^2 + 12^2) = sqrt(16 + 9 + 144) = sqrt(169) = 13 cm (sesuai soal).
    *   ||n|| = sqrt(3^2 + 4^2 + 0^2) = sqrt(9 + 16 + 0) = sqrt(25) = 5.
    *   sin(a) = |24| / (13 * 5) = 24 / 65.

Jadi, nilai sin a adalah 24/65.