Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (3x-2)/x<=x adalah ...

{x | 0 < x ≤ 1 atau x ≥ 2}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan 
(3x-2)/x <= x,

Kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan perbandingan dengan nol:
(3x-2)/x - x <= 0

Samakan penyebutnya:
(3x-2)/x - (x*x)/x <= 0
(3x-2 - x²)/x <= 0

Kalikan pembilang dan penyebut dengan -1 untuk membuat koefisien x² positif, ingat untuk membalik tanda pertidaksamaan:
-(x² - 3x + 2)/x <= 0
(x² - 3x + 2)/x >= 0

Faktorkan pembilang:
(x - 1)(x - 2)/x >= 0

Sekarang, kita tentukan titik-titik kritis di mana pembilang atau penyebut bernilai nol:
x - 1 = 0 => x = 1
x - 2 = 0 => x = 2
x = 0 (dari penyebut)

Titik-titik kritis ini membagi garis bilangan menjadi empat interval: (-∞, 0), (0, 1), (1, 2), (2, ∞).
Kita uji nilai dari setiap interval untuk melihat apakah pertidaksamaan (x - 1)(x - 2)/x >= 0 terpenuhi.

*   **Interval (-∞, 0):** Ambil x = -1
    (-1 - 1)(-1 - 2) / (-1) = (-2)(-3) / (-1) = 6 / (-1) = -6
    -6 >= 0 (Salah)

*   **Interval (0, 1):** Ambil x = 0.5
    (0.5 - 1)(0.5 - 2) / (0.5) = (-0.5)(-1.5) / (0.5) = 0.75 / 0.5 = 1.5
    1.5 >= 0 (Benar)

*   **Interval (1, 2):** Ambil x = 1.5
    (1.5 - 1)(1.5 - 2) / (1.5) = (0.5)(-0.5) / (1.5) = -0.25 / 1.5 = -1/6
    -1/6 >= 0 (Salah)

*   **Interval (2, ∞):** Ambil x = 3
    (3 - 1)(3 - 2) / (3) = (2)(1) / (3) = 2/3
    2/3 >= 0 (Benar)

Karena pertidaksamaan adalah '>= 0', maka nilai-nilai di mana pembilang nol termasuk dalam himpunan penyelesaian. Nilai di mana penyebut nol (x=0) tidak termasuk.

Jadi, solusi dari pertidaksamaan adalah x berada dalam interval (0, 1] dan [2, ∞).

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | 0 < x ≤ 1 atau x ≥ 2}.