Diketahui lingkaran dengan tali busur AB dan CD berpotongan

Sudut ACD = 21°, Sudut CAB = 43°, Sudut AED = 116°. Terdapat inkonsistensi antara perhitungan sudut luar dan perhitungan sudut dalam segitiga berdasarkan informasi yang diberikan.

Pembahasan

Diketahui lingkaran dengan tali busur AB dan CD berpotongan di E di luar lingkaran. Busur kecil AD berhadapan dengan sudut pusat 42 derajat dan busur kecil BC berhadapan dengan sudut pusat 86 derajat.

a. Tentukan besar sudut ACD.
Sudut ACD adalah sudut keliling yang menghadap busur AD. Besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama.
Besar sudut ACD = (1/2) * besar sudut pusat yang menghadap busur AD = (1/2) * 42 derajat = 21 derajat.

b. Tentukan besar sudut CAB.
Sudut CAB adalah sudut keliling yang menghadap busur BC. Besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama.
Besar sudut CAB = (1/2) * besar sudut pusat yang menghadap busur BC = (1/2) * 86 derajat = 43 derajat.

c. Gunakan segitiga AEC untuk menghitung besar sudut AED. Berikan pendapatmu tentang hasil ini.
Dalam segitiga AEC, jumlah sudut-sudutnya adalah 180 derajat. Jadi, sudut AED + sudut EAC + sudut ACE = 180 derajat.
Kita sudah mengetahui sudut EAC (sama dengan sudut CAB) = 43 derajat, dan sudut ACE (sama dengan sudut ACD) = 21 derajat.
Maka, sudut AED = 180 - sudut EAC - sudut ACE = 180 - 43 - 21 = 180 - 64 = 116 derajat.

Pendapat tentang hasil ini:
Sudut AED adalah sudut yang terbentuk dari perpotongan dua tali busur di luar lingkaran. Besar sudut ini adalah setengah dari selisih sudut pusat yang menghadap busur-busur yang berada di antara kaki-kaki sudut tersebut. Dalam kasus ini, sudut AED menghadap busur AD dan busur BC. Rumusnya adalah: Sudut AED = 1/2 * (sudut pusat menghadap busur BC - sudut pusat menghadap busur AD) = 1/2 * (86 - 42) = 1/2 * 44 = 22 derajat. Namun, hasil perhitungan kita menggunakan jumlah sudut dalam segitiga adalah 116 derajat. 
Ada ketidaksesuaian antara kedua metode ini. Mari kita periksa kembali pemahaman soal. Soal menyatakan tali busur AB dan CD berpotongan di E DI LUAR lingkaran. Gambar yang diberikan menunjukkan perpotongan di DALAM lingkaran. Jika perpotongan di dalam lingkaran (misalnya di titik E), maka sudut AED = 1/2 * (sudut pusat menghadap busur AD + sudut pusat menghadap busur BC). 
Dengan asumsi perpotongan di dalam lingkaran: Sudut AED = 1/2 * (42 + 86) = 1/2 * 128 = 64 derajat. 
Jika perpotongan di luar lingkaran (sesuai deskripsi soal), maka sudut yang dibentuk adalah sudut luar. Mari kita asumsikan titik perpotongan E berada di luar lingkaran seperti pada gambar yang umum untuk perpotongan tali busur di luar lingkaran, di mana garis perpanjangan AC dan BD berpotongan di E. Dalam kasus ini, busur yang diapit adalah AD dan BC.
Sudut AED = 1/2 * |sudut pusat menghadap busur BC - sudut pusat menghadap busur AD| = 1/2 * |86 - 42| = 1/2 * 44 = 22 derajat. 
Namun, soal meminta menggunakan segitiga AEC. Sudut yang kita hitung (ACD dan CAB) adalah sudut keliling yang benar berdasarkan busur yang diberikan. Jika kita mengasumsikan titik E adalah perpotongan tali busur AC dan BD di dalam lingkaran, maka sudut AED = 1/2 * (busur AD + busur BC). Sudut pusat sama dengan ukuran busurnya. Maka sudut AED = 1/2 * (42 + 86) = 64 derajat. Perhitungan kita sebelumnya menggunakan segitiga AEC menghasilkan 116 derajat. Ini menunjukkan ada inkonsistensi dalam pemahaman soal atau penamaan titik pada gambar. Jika sudut yang dihitung adalah sudut yang berpelurus dengan AED, maka 180 - 116 = 64 derajat, yang sesuai dengan perhitungan sudut keliling. Jadi, AED = 116 derajat jika E adalah sudut dalam segitiga AEC, atau jika E adalah titik perpotongan tali busur yang membentuk sudut lancip di dalamnya. Jika AED adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan tali busur di luar lingkaran, maka nilainya adalah 22 derajat. Berdasarkan soal yang meminta penggunaan segitiga AEC, maka sudut AED di dalam segitiga tersebut adalah 116 derajat.