Diketahui lingkaran x^2+y^2+p x+8 y+9=0 menyinggung sumbu

Titik pusat lingkaran adalah $(-3, -4)$ atau $(3, -4)$.

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah $x^2+y^2+px+8y+9=0$. Lingkaran ini menyinggung sumbu X. Kita perlu mencari titik pusat lingkaran tersebut.

Persamaan umum lingkaran adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana $(a, b)$ adalah titik pusat dan $r$ adalah jari-jari.

Kita bisa mengubah persamaan yang diberikan ke dalam bentuk umum dengan melengkapkan kuadrat:
$x^2+px + y^2+8y = -9$

Untuk suku $x$: tambahkan $(\frac{p}{2})^2 = \frac{p^2}{4}$ ke kedua sisi.
Untuk suku $y$: tambahkan $(\frac{8}{2})^2 = 4^2 = 16$ ke kedua sisi.

$(x^2+px+\frac{p^2}{4}) + (y^2+8y+16) = -9 + \frac{p^2}{4} + 16$

$(x+\frac{p}{2})^2 + (y+4)^2 = \frac{p^2}{4} + 7$

Dari bentuk umum ini, kita dapat mengidentifikasi titik pusat lingkaran adalah $(a, b) = (-\frac{p}{2}, -4)$ dan jari-jarinya adalah $r^2 = \frac{p^2}{4} + 7$, sehingga $r = \sqrt{\frac{p^2}{4} + 7}$.

Kondisi bahwa lingkaran menyinggung sumbu X berarti jarak dari pusat lingkaran ke sumbu X sama dengan jari-jari lingkaran. Jarak dari pusat $(a, b)$ ke sumbu X adalah nilai absolut dari koordinat $y$, yaitu $|b|$.

Jadi, $|b| = r$.

Dalam kasus ini, $b = -4$, sehingga $|-4| = 4$.

Maka, jari-jarinya adalah $r=4$.

Sekarang kita samakan jari-jari yang kita dapatkan dari kondisi singgung dengan jari-jari dari persamaan umum:
$r = 4$
$\sqrt{\frac{p^2}{4} + 7} = 4$

Kuadratkan kedua sisi:
$rac{p^2}{4} + 7 = 16$
$rac{p^2}{4} = 16 - 7$
$rac{p^2}{4} = 9$
$p^2 = 36$
$p = 	ext{±}6$

Sekarang kita substitusikan nilai $p$ kembali ke koordinat titik pusat $(-\frac{p}{2}, -4)$.

Jika $p = 6$, titik pusatnya adalah $(-\frac{6}{2}, -4) = (-3, -4)$.
Jika $p = -6$, titik pusatnya adalah $(-\frac{-6}{2}, -4) = (3, -4)$.

Jadi, titik pusat lingkaran tersebut adalah $(-3, -4)$ atau $(3, -4)$.