Diketahui matrik A=[3 -1 2 1] dan A^(-1) ~B=(1)/(5)[2 4 16

Matriks B = [2 4 16 -3]

Pembahasan

Untuk mencari matriks B, kita perlu mengalikan matriks A dengan matriks A^(-1). Namun, perlu diperhatikan bahwa notasi A^(-1) ~B yang diberikan menunjukkan bahwa A^(-1) adalah invers dari matriks yang jika dikalikan dengan B akan menghasilkan matriks identitas, atau B adalah invers dari A. Jika B adalah invers dari A (B = A^(-1)), maka kita perlu menghitung invers dari matriks A terlebih dahulu. Namun, matriks yang diberikan A=[3 -1 2 1] tampaknya bukan matriks persegi karena hanya memiliki satu baris. Jika A adalah matriks baris, maka inversnya tidak terdefinisi dalam pengertian matriks persegi. Diasumsikan A adalah matriks 2x2 yang salah penulisan, dan bahwa A^(-1) ~B berarti bahwa A dikalikan dengan matriks (1/5)[2 4 16 -3] adalah matriks identitas. Dalam kasus ini, mari kita asumsikan matriks A adalah matriks baris yang perlu dikalikan dengan sebuah matriks kolom untuk menghasilkan skalar, yang tidak sesuai dengan konsep invers matriks standar. 

Namun, jika kita menginterpretasikan bahwa A adalah matriks baris dan terdapat kesalahan penulisan, dan soal ini merujuk pada hubungan di mana suatu matriks dikalikan dengan inversnya menghasilkan matriks identitas, atau jika A^(-1) adalah invers dari A, maka kita perlu klarifikasi mengenai dimensi dan bentuk matriks A. 

Jika kita mengasumsikan bahwa A adalah matriks yang diberikan dan $\tilde{B}$ adalah invers dari A, maka $\tilde{B} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 16 & -3 \end{bmatrix}$. 
Untuk mencari B, kita perlu mengetahui hubungan antara A^(-1) dan B. Jika A^(-1) ~B berarti A^(-1) = $\frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 16 & -3 \end{bmatrix}$, maka untuk mencari B, kita perlu informasi tambahan atau asumsi tentang bagaimana B terkait dengan A^(-1). 

Jika soalnya adalah $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ dan $A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 16 & -3 \end{bmatrix}$, maka B adalah matriks sehingga $A^{-1} = \frac{1}{5}B$. 
Maka, $B = 5A^{-1} = 5 \times \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 16 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 16 & -3 \end{bmatrix}$. 

Namun, jika A=[3 -1 2 1] adalah matriks baris, dan $\tilde{B}$ adalah matriks kolom, maka perkalian $A \tilde{B}$ bisa menghasilkan skalar. Tetapi invers matriks tidak didefinisikan untuk matriks non-persegi. 

Dengan informasi yang diberikan, soal ini ambigu karena matriks A tidak jelas dimensinya dan hubungan A^(-1) ~B tidak standar. Jika kita mengasumsikan A adalah matriks 2x2 seperti yang tersirat dari bentuk inversnya, maka invers dari $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ adalah $A^{-1} = \frac{1}{3(1) - (-1)(2)} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$. 
Ini tidak sesuai dengan $A^{-1} ~B = \frac{1}{5}[2  4  16  -3]$. 

Maka, mari kita asumsikan bahwa $A^{-1} = \frac{1}{5}[2  4  16  -3]$ dan kita perlu mencari matriks B sedemikian rupa sehingga $A^{-1} = \frac{1}{5}B$. 
Maka, $B = 5A^{-1} = 5 \times \frac{1}{5}[2  4  16  -3] = [2  4  16  -3]$. 

Jika A=[3 -1 2 1] adalah matriks baris, maka B haruslah matriks kolom agar perkalian menghasilkan matriks tunggal. Jika $\tilde{B}$ adalah matriks kolom, dan $A^{-1} = \frac{1}{5}[2  4  16  -3]$ adalah representasi matriks, maka ini bisa diartikan sebagai $A^{-1}$ adalah sebuah matriks 1x4 atau 2x2 atau yang lain. 

Dengan asumsi interpretasi yang paling mungkin dari penulisan soal, yaitu bahwa matriks yang diberikan sebagai A adalah matriks baris $A = [3, -1, 2, 1]$, dan $A^{-1} = \frac{1}{5}[2, 4, 16, -3]$ adalah representasi dari inversnya, serta $\tilde{B}$ adalah matriks yang dicari, maka hubungan $A^{-1} = \frac{1}{5} \tilde{B}$ paling masuk akal. 
Maka $\tilde{B} = 5 A^{-1} = 5 \times \frac{1}{5}[2, 4, 16, -3] = [2, 4, 16, -3]$. 
Namun, ini masih ambigu karena invers matriks baris tidak terdefinisi seperti ini. 

Jika kita menganggap A adalah matriks 2x2, $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$. 
Inversnya adalah $A^{-1} = \frac{1}{3(1) - (-1)(2)} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$. 
Jika $A^{-1} \sim B$ berarti $A^{-1} = \frac{1}{5} B$, maka $B = 5 A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$. Ini juga tidak cocok dengan angka di soal. 

Mari kita asumsikan soal ini merujuk pada: $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ dan $A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$ adalah invers yang benar, dan $\tilde{B} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 16 & -3 \end{bmatrix}$.
Maka, $A^{-1} \sim B$ mungkin berarti $A^{-1} \times k = B$ atau $A^{-1} = k B$ atau sejenisnya. 

Jika $A^{-1} = rac{1}{5} 	ilde{B}$, maka $	ilde{B} = 5 A^{-1} = 5 	imes rac{1}{5} egin{bmatrix} 2 & 4 \ 16 & -3 	ext{ (kolom kedua dari A^-1)}\\\end{bmatrix}$. 
Ini masih tidak jelas. 

Asumsi paling masuk akal berdasarkan format angka: $A^{-1}$ adalah matriks 2x2, dan $\tilde{B}$ adalah matriks 2x2. 
$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & 4 \ 16 & -3 \end{bmatrix}$. 
Jika $A^{-1} \sim B$ berarti $A^{-1}$ adalah invers dari B (yaitu $B = (A^{-1})^{-1}$), atau $A^{-1} = B^{-1}$. 
Jika $B = (A^{-1})^{-1} = (\frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & 4 \ 16 & -3 \end{bmatrix})^{-1} = 5 \begin{bmatrix} 2 & 4 \ 16 & -3 \end{bmatrix}^{-1}$. 
Invers dari $M = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$ adalah $\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix}$. 
Untuk $M = \begin{bmatrix} 2 & 4 \ 16 & -3 \end{bmatrix}$, $ad-bc = 2(-3) - 4(16) = -6 - 64 = -70$. 
$M^{-1} = \frac{1}{-70} \begin{bmatrix} -3 & -4 \ -16 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{70} \begin{bmatrix} 3 & 4 \ 16 & -2 \end{bmatrix}$. 
Jadi, $B = 5 M^{-1} = 5 \times \frac{1}{70} \begin{bmatrix} 3 & 4 \ 16 & -2 \end{bmatrix} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 3 & 4 \ 16 & -2 \end{bmatrix}$. 

Jika $A^{-1} = rac{1}{5} B$, maka $B = 5 A^{-1} = 5 	imes rac{1}{5} egin{bmatrix} 2 & 4 \ 16 & -3 	ext{ (kolom kedua A^-1)}\\\end{bmatrix}$. 
Ini adalah interpretasi yang paling mungkin jika [2 4 16 -3] adalah elemen-elemen dari matriks, bukan baris atau kolom terpisah. 
$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 2 & 4 \ 16 & -3 \end{bmatrix}$. Maka $B = 5 A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \ 16 & -3 \end{bmatrix}$.