Diketahui matriks A=(2 1 5 -3), B=(a b c 4), C=(-1 2 3 1),

4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mengalikan matriks A, B, dan C terlebih dahulu, kemudian menyamakannya dengan matriks D untuk menemukan nilai a, b, dan c.

Matriks A = [[2, 1], [5, -3]]
Matriks B = [[a, b], [c, 4]]
Matriks C = [[-1, 2], [3, 1]]
Matriks D = [[27, 16], [-4, 29]]

Langkah 1: Kalikan matriks A dengan B (AB).
AB = [[(2*a + 1*c), (2*b + 1*4)], [(5*a + -3*c), (5*b + -3*4)]]
AB = [[2a + c, 2b + 4], [5a - 3c, 5b - 12]]

Langkah 2: Kalikan hasil AB dengan matriks C (ABC).
ABC = [[(2a + c)*(-1) + (2b + 4)*3], [(5a - 3c)*(-1) + (5b - 12)*3]]
ABC = [[-2a - c + 6b + 12], [-5a + 3c + 15b - 36]]

Langkah 3: Samakan hasil ABC dengan matriks D.
Karena ABC = D, maka:

[-2a - c + 6b + 12] = [27]
[-5a + 3c + 15b - 36] = [16]

Ini adalah sistem persamaan linear dengan dua persamaan dan tiga variabel (a, b, c). Namun, format matriks yang diberikan (misalnya A=(2 1 5 -3)) menyiratkan bahwa ini adalah matriks 1x4 atau 2x2. Jika kita menganggap A, B, C, dan D adalah matriks 2x2, maka:

A = [[2, 1], [5, -3]]
B = [[a, b], [c, 4]]
C = [[-1, 2], [3, 1]]
D = [[27, 16], [-4, 29]]

Mari kita hitung ulang perkalian matriks:

AB = [[(2*a + 1*c), (2*b + 1*4)], [(5*a + -3*c), (5*b + -3*4)]]
AB = [[2a + c, 2b + 4], [5a - 3c, 5b - 12]]

ABC = AB * C
ABC = [[(2a + c)(-1) + (2b + 4)(3)], [(5a - 3c)(-1) + (5b - 12)(3)]]
ABC = [[-2a - c + 6b + 12, 2b + 4 - 2*(-1) + (2b+4)*2], [-5a + 3c + 15b - 36, 5b-12 + 5a-3c]]

Perkalian matriks harus dilakukan dengan benar. Mari kita hitung ulang:
AB = [[2a+c, 2b+4], [5a-3c, 5b-12]]

ABC = (AB)C
Elemen pada baris 1, kolom 1 dari ABC:
(2a+c)(-1) + (2b+4)(3) = -2a - c + 6b + 12

Elemen pada baris 1, kolom 2 dari ABC:
(2a+c)(2) + (2b+4)(1) = 4a + 2c + 2b + 4

Elemen pada baris 2, kolom 1 dari ABC:
(5a-3c)(-1) + (5b-12)(3) = -5a + 3c + 15b - 36

Elemen pada baris 2, kolom 2 dari ABC:
(5a-3c)(2) + (5b-12)(1) = 10a - 6c + 5b - 12

Sekarang samakan dengan D:

1. -2a - c + 6b + 12 = 27  => -2a - c + 6b = 15
2. 4a + 2c + 2b + 4 = 16  => 4a + 2c + 2b = 12  => 2a + c + b = 6
3. -5a + 3c + 15b - 36 = -4 => -5a + 3c + 15b = 32
4. 10a - 6c + 5b - 12 = 29 => 10a - 6c + 5b = 41

Kita punya sistem persamaan:
(I)  -2a - c + 6b = 15
(II)  2a + c + b = 6
(III) -5a + 3c + 15b = 32
(IV) 10a - 6c + 5b = 41

Dari (II), kita bisa isolasi c: c = 6 - 2a - b
Substitusikan c ke (I):
-2a - (6 - 2a - b) + 6b = 15
-2a - 6 + 2a + b + 6b = 15
7b - 6 = 15
7b = 21
b = 3

Sekarang kita tahu b = 3. Substitusikan b = 3 ke dalam persamaan yang melibatkan a dan c:
Dari (II): 2a + c + 3 = 6 => 2a + c = 3 => c = 3 - 2a

Substitusikan b = 3 dan c = 3 - 2a ke (III):
-5a + 3(3 - 2a) + 15(3) = 32
-5a + 9 - 6a + 45 = 32
-11a + 54 = 32
-11a = 32 - 54
-11a = -22
a = 2

Sekarang kita temukan a = 2 dan b = 3. Kita bisa cari c menggunakan c = 3 - 2a:
c = 3 - 2(2)
c = 3 - 4
c = -1

Mari kita cek dengan persamaan (IV):
10a - 6c + 5b = 41
10(2) - 6(-1) + 5(3) = 41
20 + 6 + 15 = 41
41 = 41 (Benar)

Jadi, nilai a = 2, b = 3, dan c = -1.

Yang ditanyakan adalah nilai dari a + b + c.
a + b + c = 2 + 3 + (-1) = 5 - 1 = 4.

Jadi, nilai dari a+b+c adalah 4.