Nilai lim x mendekati tak hingga (akar(x^2-2x-5))-x-2)=...

-3

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menghitung nilai dari $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 2x - 5}) - x - 2)$. Langkah pertama adalah menyusun ulang ekspresi agar lebih mudah dihitung limitnya. Kita akan mengelompokkan $-x - 2$ menjadi $-(x+2)$ dan kemudian menyatukannya dengan akar kuadrat menggunakan bentuk sekawan.

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Susun ulang ekspresi menjadi bentuk yang lebih mudah untuk dikalikan dengan sekawan:
   $\lim_{x \to \infty} [\sqrt{x^2 - 2x - 5} - (x + 2)]$

2. Kalikan dengan bentuk sekawannya:
   $(\sqrt{x^2 - 2x - 5} - (x + 2)) \times \frac{\sqrt{x^2 - 2x - 5} + (x + 2)}{\sqrt{x^2 - 2x - 5} + (x + 2)}$

3. Gunakan identitas $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ pada pembilang:
   $\frac{(x^2 - 2x - 5) - (x + 2)^2}{\sqrt{x^2 - 2x - 5} + (x + 2)}$

4. Jabarkan $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ dan sederhanakan pembilang:
   $\frac{x^2 - 2x - 5 - (x^2 + 4x + 4)}{\sqrt{x^2 - 2x - 5} + x + 2}$
   $\frac{x^2 - 2x - 5 - x^2 - 4x - 4}{\sqrt{x^2 - 2x - 5} + x + 2}$
   $\frac{-6x - 9}{\sqrt{x^2 - 2x - 5} + x + 2}$

5. Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x:
   $\frac{\frac{-6x}{x} - \frac{9}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 - 2x - 5}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$
   Karena $x \to \infty$, maka $x = \sqrt{x^2}$:
   $\frac{-6 - \frac{9}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} - \frac{5}{x^2}} + 1 + \frac{2}{x}}$
   $\frac{-6 - \frac{9}{x}}{\sqrt{1 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^2}} + 1 + \frac{2}{x}}$

6. Terapkan limit ketika $x \to \infty$. Suku-suku yang memiliki x di penyebut akan menjadi 0:
   $\frac{-6 - 0}{\sqrt{1 - 0 - 0} + 1 + 0} = \frac{-6}{\sqrt{1} + 1} = \frac{-6}{1 + 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Hasil limitnya adalah -3.