Diketahui matriks A=[3 5 -4 -7]. Jika A6-1 merupakan invers

$AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A^{-1}A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Kesimpulannya, perkalian matriks dengan inversnya menghasilkan matriks identitas.

Pembahasan

Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -4 & -7 \end{pmatrix}$.

Kita perlu mencari invers dari matriks A, yang dinotasikan sebagai $A^{-1}$. Rumus invers matriks $2 \times 2$ $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ adalah $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Untuk matriks A:
$a=3, b=5, c=-4, d=-7$

Determinan A ($ad-bc$) = $(3)(-7) - (5)(-4) = -21 - (-20) = -21 + 20 = -1$.

Maka, $A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -7 & -5 \\ -(-4) & 3 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} -7 & -5 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 5 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$.

Sekarang kita hitung $AA^{-1}$ dan $A^{-1}A$:

$AA^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -4 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & 5 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$
$AA^{-1} = \begin{pmatrix} (3)(7)+(5)(-4) & (3)(5)+(5)(-3) \\ (-4)(7)+(-7)(-4) & (-4)(5)+(-7)(-3) \end{pmatrix}$
$AA^{-1} = \begin{pmatrix} 21-20 & 15-15 \\ -28+28 & -20+21 \end{pmatrix}$
$AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}A = \begin{pmatrix} 7 & 5 \\ -4 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ -4 & -7 \end{pmatrix}$
$A^{-1}A = \begin{pmatrix} (7)(3)+(5)(-4) & (7)(5)+(5)(-7) \\ (-4)(3)+(-3)(-4) & (-4)(5)+(-3)(-7) \end{pmatrix}$
$A^{-1}A = \begin{pmatrix} 21-20 & 35-35 \\ -12+12 & -20+21 \end{pmatrix}$
$A^{-1}A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

**Kesimpulan:**

Dari perhitungan di atas, kita dapat melihat bahwa $AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $A^{-1}A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Matriks $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ adalah matriks identitas (dilambangkan dengan I).

Kesimpulan yang diperoleh adalah bahwa perkalian sebuah matriks dengan inversnya (baik dari kiri maupun kanan) akan selalu menghasilkan matriks identitas. Ini adalah sifat fundamental dari matriks invers.