Diketahui matriks A berordo 2x2 dan B = (2 -1 7 -3) dan C =

1

Pembahasan

Diketahui matriks B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix} dan C = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}.
Kita diberikan persamaan BA = C.
Untuk mencari A, kita dapat mengalikan kedua sisi dengan B^{-1} dari kiri: B^{-1}BA = B^{-1}C, sehingga A = B^{-1}C.

Langkah 1: Hitung determinan matriks B.
det(B) = (2)(-3) - (-1)(7) = -6 - (-7) = -6 + 7 = 1.

Langkah 2: Hitung invers matriks B.
B^{-1} = \frac{1}{det(B)} \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -7 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -7 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -7 & 2 \end{pmatrix}.

Langkah 3: Hitung matriks A.
A = B^{-1}C = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -7 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}
A = \begin{pmatrix} (-3)(8)+(1)(4) & (-3)(3)+(1)(2) \\ (-7)(8)+(2)(4) & (-7)(3)+(2)(2) \end{pmatrix}
A = \begin{pmatrix} -24+4 & -9+2 \\ -56+8 & -21+4 \end{pmatrix}
A = \begin{pmatrix} -20 & -7 \\ -48 & -17 \end{pmatrix}

Langkah 4: Hitung determinan matriks A.
det(A) = (-20)(-17) - (-7)(-48)
det(A) = 340 - 336
det(A) = 4.

Langkah 5: Hitung invers dari matriks A.
A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} -17 & 7 \\ 48 & -20 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -17 & 7 \\ 48 & -20 \end{pmatrix}.

Langkah 6: Hitung 2A^{-1}.
2A^{-1} = 2 * \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -17 & 7 \\ 48 & -20 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -17 & 7 \\ 48 & -20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -17/2 & 7/2 \\ 24 & -10 
\end{pmatrix}.

Langkah 7: Hitung determinan dari 2A^{-1}.
det(2A^{-1}) = \det(\begin{pmatrix} -17/2 & 7/2 \\ 24 & -10 
\end{pmatrix})
det(2A^{-1}) = (-17/2)(-10) - (7/2)(24)
det(2A^{-1}) = 85 - 84
det(2A^{-1}) = 1.

Alternatif menggunakan sifat determinan: det(kA) = k^n det(A), di mana n adalah ordo matriks.
Untuk matriks 2x2, det(2A^{-1}) = 2^2 det(A^{-1}).
Kita tahu bahwa det(A^{-1}) = 1/det(A) = 1/4.
Jadi, det(2A^{-1}) = 2^2 * (1/4) = 4 * (1/4) = 1.

Hasil dari det(2A^-1) adalah 1.