Diketahui P(3,2,-1) dan Q(-4,-2,3) serta (a)=-3i+4j+k

1

Pembahasan

Diketahui vektor $\vec{a} = -3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + \mathbf{k}$ dan titik $P(3, 2, -1)$ serta $Q(-4, -2, 3)$.

Pertama, kita cari vektor $\vec{PQ}$. Vektor $\vec{PQ}$ dihitung dengan mengurangkan koordinat titik Q dengan koordinat titik P:
$\vec{PQ} = Q - P = (-4-3, -2-2, 3-(-1)) = (-7, -4, 4)$.
Dalam bentuk komponen vektor, $\vec{PQ} = -7\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k}$.

Selanjutnya, kita perlu mencari panjang proyeksi vektor $\vec{a}$ pada vektor $\vec{PQ}$. Rumus panjang proyeksi vektor $\vec{a}$ pada vektor $\vec{b}$ adalah:
$|\text{proj}_\vec{b} \vec{a}| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$.

Di sini, $\vec{a} = -3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + \mathbf{k}$ dan $\vec{b} = \vec{PQ} = -7\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k}$.

Hitung hasil kali titik (dot product) $\vec{a} \cdot \vec{PQ}$:
$\vec{a} \cdot \vec{PQ} = (-3)(-7) + (4)(-4) + (1)(4)$
$= 21 - 16 + 4$
$= 5 + 4$
$= 9$.

Hitung panjang vektor $\vec{PQ}$, yaitu $|\vec{PQ}| = |\vec{b}|$. Rumus panjang vektor adalah $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$:
$|\vec{PQ}| = \sqrt{(-7)^2 + (-4)^2 + (4)^2}$
$= \sqrt{49 + 16 + 16}$
$= \sqrt{81}$
$= 9$.

Sekarang, hitung panjang proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{PQ}$:
Panjang proyeksi $= \frac{|\vec{a} \cdot \vec{PQ}|}{|\vec{PQ}|} = \frac{|9|}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

Jadi, panjang proyeksi vektor $\vec{a}$ pada vektor $\vec{PQ}$ adalah 1.