Diketahui P=(-7 1 -2 0), Q=(-2 4 1 5) dan R=(-4 1 0 -2).

a. QP^T = 16. b. 2R^2-4Q^T = [40, -14, -4, -12] (dengan asumsi operasi yang sesuai).

Pembahasan

Diberikan matriks:
P = [-7, 1, -2, 0]
Q = [-2, 4, 1, 5]
R = [-4, 1, 0, -2]

Ini tampaknya adalah matriks baris karena hanya memiliki satu dimensi yang ditunjukkan. Kita akan menganggap P, Q, dan R sebagai matriks baris 1x4.

a. QP^T
P^T adalah transpos dari P. Jika P adalah matriks baris 1x4, maka P^T adalah matriks kolom 4x1.
P^T = [[-7], [1], [-2], [0]]

Sekarang kita perlu mengalikan Q (1x4) dengan P^T (4x1).
QP^T = [-2, 4, 1, 5] * [[-7], [1], [-2], [0]]
Untuk perkalian ini, kita kalikan elemen-elemen yang bersesuaian dan menjumlahkannya:
QP^T = (-2 * -7) + (4 * 1) + (1 * -2) + (5 * 0)
QP^T = 14 + 4 - 2 + 0
QP^T = 16
Hasilnya adalah skalar (matriks 1x1).

b. 2R^2 - 4Q^T
Pertama, kita perlu menghitung R^2. Jika R adalah matriks baris 1x4, maka R^2 (perkalian matriks standar) tidak terdefinisi karena dimensi tidak cocok (1x4 dikalikan 1x4).

Namun, jika R adalah matriks 4x1 dan Q adalah matriks 4x1, maka R^2 tidak dapat dihitung. Jika R adalah matriks 1x4, maka R*R tidak terdefinisi.

Ada kemungkinan R dan Q adalah matriks kolom.
Jika R adalah matriks kolom 4x1:
R = [[-4], [1], [0], [-2]]
Maka R^2 tidak terdefinisi dalam perkalian matriks standar.

Jika yang dimaksud dengan R^2 adalah perkalian elemen per elemen R dengan dirinya sendiri (R ⊙ R), maka:
R ⊙ R = [(-4)^2, 1^2, 0^2, (-2)^2] = [16, 1, 0, 4]

Selanjutnya, kita perlu menghitung Q^T. Jika Q adalah matriks baris 1x4, maka Q^T adalah matriks kolom 4x1:
Q^T = [[-2], [4], [1], [5]]

Kemudian, 4Q^T:
4Q^T = 4 * [[-2], [4], [1], [5]] = [[-8], [16], [4], [20]]

Sekarang kita perlu menghitung 2R^2 - 4Q^T. Jika R^2 diinterpretasikan sebagai R ⊙ R:
2(R ⊙ R) = 2 * [16, 1, 0, 4] = [32, 2, 0, 8]

Kemudian kita coba kurangkan 4Q^T dari 2(R ⊙ R). Namun, dimensi tidak cocok untuk pengurangan matriks:
[32, 2, 0, 8] (1x4) - [[-8], [16], [4], [20]] (4x1)

Jika R dan Q adalah matriks 4x1:
P = [[-7], [1], [-2], [0]]
Q = [[-2], [4], [1], [5]]
R = [[-4], [1], [0], [-2]]

a. QP^T
Q (4x1), P^T (1x4)
QP^T tidak terdefinisi.

Kemungkinan interpretasi lain adalah bahwa P, Q, dan R adalah vektor baris, dan operasi yang diminta adalah operasi vektor.

Mari kita asumsikan P, Q, R adalah matriks 1x4:
P = [-7, 1, -2, 0]
Q = [-2, 4, 1, 5]
R = [-4, 1, 0, -2]

a. QP^T
P^T = [[-7], [1], [-2], [0]] (matriks kolom 4x1)
QP^T = [-2, 4, 1, 5] * [[-7], [1], [-2], [0]] = (-2*-7) + (4*1) + (1*-2) + (5*0) = 14 + 4 - 2 + 0 = 16.
Ini adalah hasil perkalian dot product.

b. 2R^2 - 4Q^T
Jika R^2 berarti R dikalikan dengan R^T (perkalian dot product R dengan dirinya sendiri):
R*R^T = [-4, 1, 0, -2] * [[-4], [1], [0], [-2]] = (-4*-4) + (1*1) + (0*0) + (-2*-2) = 16 + 1 + 0 + 4 = 21.
Hasilnya skalar.

Q^T = [[-2], [4], [1], [5]]
4Q^T = 4 * [[-2], [4], [1], [5]] = [[-8], [16], [4], [20]]

Kita tidak bisa mengurangkan matriks kolom 4x1 dari skalar 21.

Kemungkinan lain: R dan Q adalah matriks kolom 4x1.
R = [[-4], [1], [0], [-2]]
Q = [[-2], [4], [1], [5]]

a. QP^T
P adalah matriks 1x4, P^T adalah matriks 4x1.
Q (4x1) * P^T (4x1) tidak terdefinisi.

Jika P, Q, R adalah matriks 4x1:
P = [[-7], [1], [-2], [0]]
Q = [[-2], [4], [1], [5]]
R = [[-4], [1], [0], [-2]]

a. QP^T
Q (4x1), P^T (1x4)
QP^T = [[-2], [4], [1], [5]] * [-7, 1, -2, 0]
Ini adalah perkalian matriks 4x1 dengan 1x4, menghasilkan matriks 4x4.
QP^T = [
  [-2*-7, -2*1, -2*-2, -2*0],
  [4*-7, 4*1, 4*-2, 4*0],
  [1*-7, 1*1, 1*-2, 1*0],
  [5*-7, 5*1, 5*-2, 5*0]
]
QP^T = [
  [14, -2, 4, 0],
  [-28, 4, -8, 0],
  [-7, 1, -2, 0],
  [-35, 5, -10, 0]
]

b. 2R^2 - 4Q^T
R^2 (R dikalikan R) untuk matriks 4x1 tidak terdefinisi.
Jika R^2 adalah R*R^T:
R*R^T = [[-4], [1], [0], [-2]] * [-4, 1, 0, -2]
    = [
      [-4*-4, -4*1, -4*0, -4*-2],
      [1*-4, 1*1, 1*0, 1*-2],
      [0*-4, 0*1, 0*0, 0*-2],
      [-2*-4, -2*1, -2*0, -2*-2]
    ]
    = [
      [16, -4, 0, 8],
      [-4, 1, 0, -2],
      [0, 0, 0, 0],
      [8, -2, 0, 4]
    ]

Q^T = [-2, 4, 1, 5] (matriks baris 1x4)
4Q^T = 4 * [-2, 4, 1, 5] = [-8, 16, 4, 20]

Kita tidak bisa mengurangkan matriks 4x4 dengan matriks 1x4.

Kemungkinan interpretasi yang paling konsisten dengan notasi dan operasi yang umum di tingkat sekolah adalah bahwa P, Q, dan R adalah vektor baris, dan operasi yang diminta adalah operasi vektor.

Asumsi P, Q, R adalah vektor baris:
P = [-7, 1, -2, 0]
Q = [-2, 4, 1, 5]
R = [-4, 1, 0, -2]

a. QP^T
Ini adalah perkalian dot product antara Q dan P. P^T adalah P ditransposkan menjadi vektor kolom, tetapi dalam konteks perkalian dot product, urutan tidak masalah jika kita menganggapnya sebagai perkalian vektor standar.
Q · P = (-2)(-7) + (4)(1) + (1)(-2) + (5)(0) = 14 + 4 - 2 + 0 = 16.

b. 2R^2 - 4Q^T
Jika R^2 berarti R dot R (perkalian dot product R dengan dirinya sendiri):
R · R = (-4)(-4) + (1)(1) + (0)(0) + (-2)(-2) = 16 + 1 + 0 + 4 = 21.

Q^T adalah Q ditransposkan menjadi vektor kolom:
Q^T = [[-2], [4], [1], [5]]

4Q^T = 4 * [[-2], [4], [1], [5]] = [[-8], [16], [4], [20]]

Kita tidak bisa mengurangkan vektor kolom dari skalar.

Kemungkinan lain untuk R^2 adalah perkalian elemen per elemen (Hadamard product): R ∘ R = [(-4)^2, 1^2, 0^2, (-2)^2] = [16, 1, 0, 4].
Kemudian 2 * (R ∘ R) = [32, 2, 0, 8].

Jika kita mengasumsikan Q^T pada bagian b adalah Q itu sendiri sebagai vektor baris, maka:
2R^2 - 4Q
Jika R^2 adalah R ∘ R:
2[16, 1, 0, 4] - 4[-2, 4, 1, 5]
= [32, 2, 0, 8] - [-8, 16, 4, 20]
= [32 - (-8), 2 - 16, 0 - 4, 8 - 20]
= [40, -14, -4, -12]

Ini adalah interpretasi yang paling mungkin menghasilkan jawaban berupa vektor.

Jawaban:
a. QP^T = 16 (hasil perkalian dot product)
b. 2R^2 - 4Q^T = [40, -14, -4, -12] (dengan asumsi R^2 adalah perkalian elemen per elemen R dengan R, dan Q^T adalah Q sebagai vektor baris).

Namun, jika kita harus mengikuti notasi matriks secara ketat:
P, Q, R adalah matriks baris 1x4.
a. QP^T = Q * P^T = 16 (skalar)
b. 2R^2 - 4Q^T
   R^2 tidak terdefinisi.
   Q^T = matriks kolom 4x1.
   2R^2 - 4Q^T tidak dapat dihitung karena dimensi tidak cocok.

Mengacu pada cara soal matriks biasanya ditulis, P, Q, dan R kemungkinan adalah matriks baris. Oleh karena itu, interpretasi perkalian dot product untuk 'a' dan operasi elemen per elemen untuk 'b' (dengan asumsi Q^T seharusnya Q) adalah yang paling masuk akal untuk mendapatkan hasil yang valid.

Mari kita berikan jawaban berdasarkan interpretasi yang paling umum diterima di buku teks untuk soal semacam ini:
Asumsi P, Q, R adalah matriks baris 1x4.
a. QP^T adalah perkalian dot product Q dengan P.
b. 2R^2 - 4Q^T. Asumsi R^2 adalah R·R (dot product) dan Q^T adalah Q (vektor baris), dan operasi pengurangan adalah elemen per elemen.

Jawaban:
a. QP^T = 16
b. 2R^2 - 4Q^T = [40, -14, -4, -12]