Diketahui p, q, r, s adalah bilangan-bilangan tidak nol.

-2

Pembahasan

Diketahui:
p, q, r, s adalah bilangan-bilangan tidak nol.
r dan s adalah solusi dari persamaan x^2 + px + q = 0.
p dan q adalah solusi dari persamaan x^2 + rx + s = 0.

Dari Vieta's formulas untuk persamaan pertama (x^2 + px + q = 0) dengan akar r dan s:
r + s = -p  ...(1)
r * s = q   ...(2)

Dari Vieta's formulas untuk persamaan kedua (x^2 + rx + s = 0) dengan akar p dan q:
p + q = -r  ...(3)
p * q = s   ...(4)

Kita ingin mencari nilai p + q + r + s.

Dari (3), kita bisa tulis q = -r - p.
Substitusikan q ke dalam (2):
r * s = -r - p
rs + r + p = 0  ...(5)

Dari (4), kita bisa tulis r = -p - q.
Substitusikan r ke dalam (1):
(-p - q) + s = -p
s - q = 0
s = q  ...(6)

Karena s = q, substitusikan ke dalam (4):
p * q = q
Karena q tidak nol, kita bisa bagi kedua sisi dengan q:
p = 1  ...(7)

Karena p = 1, substitusikan ke dalam (3):
1 + q = -r
r = -1 - q  ...(8)

Karena p = 1, substitusikan ke dalam (1):
r + s = -1  ...(9)

Karena s = q (dari 6), substitusikan ke dalam (9):
r + q = -1
Ini sama dengan persamaan (3), jadi konsisten.

Sekarang kita punya:
p = 1
s = q
r = -1 - q

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan r * s = q (persamaan 2):
(-1 - q) * q = q
-q - q^2 = q
-q^2 - 2q = 0
-q(q + 2) = 0

Karena q tidak nol, maka q + 2 = 0, sehingga q = -2.

Jika q = -2:
s = q = -2
r = -1 - q = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1

Jadi, kita punya p = 1, q = -2, r = 1, s = -2.
Mari kita cek apakah semua bilangan tidak nol. Ya, benar.

Sekarang kita hitung p + q + r + s:
p + q + r + s = 1 + (-2) + 1 + (-2)
              = 1 - 2 + 1 - 2
              = -2

Jadi, nilai p + q + r + s sama dengan -2.