Diketahui P(x) dibagi x^2-4 sisanya 3x-7 dan jika dibagi

Untuk menentukan sisa P(x) ketika dibagi oleh x-1, kita perlu mencari P(1). Dari informasi yang diberikan, P(2)=-1, P(-2)=-13, P(3)=2, P(-3)=-28. Menggunakan interpolasi polinomial atau metode lain, kita menemukan bahwa sisa pembagian P(x) oleh (x^2-4)(x^2-9) adalah R(x) = (2/5)x^3 - (6/5)x^2 + (7/5)x - 11/5. Maka, P(1) = R(1) = -8/5. Namun, soal ini kemungkinan tidak dapat diselesaikan dengan informasi yang diberikan karena nilai P(1) bergantung pada hasil bagi. Jika kita mengasumsikan P(x) = R(x), maka sisanya adalah -8/5. Namun, ini adalah asumsi yang tidak kuat.

Pembahasan

Untuk menentukan sisa P(x) jika dibagi oleh x-1, kita perlu menggunakan informasi yang diberikan mengenai pembagian P(x) oleh x^2-4 dan x^2-9.

Diketahui:
P(x) dibagi x^2-4 sisanya 3x-7. Ini berarti P(x) = (x^2-4)Q1(x) + 3x-7.
Karena x^2-4 = (x-2)(x+2), maka:
P(2) = (2^2-4)Q1(2) + 3(2)-7 = 0*Q1(2) + 6-7 = -1
P(-2) = ((-2)^2-4)Q1(-2) + 3(-2)-7 = 0*Q1(-2) -6-7 = -13

P(x) dibagi x^2-9 sisanya 5x-13. Ini berarti P(x) = (x^2-9)Q2(x) + 5x-13.
Karena x^2-9 = (x-3)(x+3), maka:
P(3) = (3^2-9)Q2(3) + 5(3)-13 = 0*Q2(3) + 15-13 = 2
P(-3) = ((-3)^2-9)Q2(-3) + 5(-3)-13 = 0*Q2(-3) -15-13 = -28

Sekarang kita ingin mencari sisa P(x) jika dibagi oleh x-1. Sisa pembagian P(x) oleh x-1 adalah P(1).

Misalkan sisa P(x) dibagi x^2-4 adalah Ax+B, maka P(x) = (x^2-4)Q1(x) + Ax+B.
Berdasarkan informasi yang diberikan, sisa adalah 3x-7, jadi Ax+B = 3x-7.
Ini berarti P(2) = 3(2)-7 = -1 dan P(-2) = 3(-2)-7 = -13.

Misalkan sisa P(x) dibagi x^2-9 adalah Cx+D, maka P(x) = (x^2-9)Q2(x) + Cx+D.
Berdasarkan informasi yang diberikan, sisa adalah 5x-13, jadi Cx+D = 5x-13.
Ini berarti P(3) = 5(3)-13 = 2 dan P(-3) = 5(-3)-13 = -28.

Misalkan sisa P(x) dibagi oleh (x^2-4)(x^2-9) adalah Sx+T.
Ini tidak relevan untuk soal ini karena kita hanya perlu mencari sisa ketika dibagi oleh x-1.

Kita tahu bahwa jika P(x) dibagi oleh x-1, sisanya adalah P(1).
Kita memiliki P(2) = -1 dan P(3) = 2.

Kita perlu mencari nilai P(1) menggunakan Teorema Sisa. Namun, informasi yang diberikan hanya memberikan nilai P(x) pada x=2, x=-2, x=3, dan x=-3. Tidak ada informasi langsung untuk menghitung P(1).

Mari kita periksa kembali soalnya. Ada kemungkinan soal ini ingin kita menemukan sisa ketika P(x) dibagi oleh (x-2)(x+2)(x-3)(x+3) terlebih dahulu, atau ada informasi yang hilang.

Namun, jika kita berasumsi bahwa P(x) dapat direpresentasikan dalam bentuk yang memungkinkan kita mencari P(1) dari P(2) dan P(3), kita dapat mencoba pendekatan lain.

Misalkan P(x) = (x^2-4)Q1(x) + 3x-7
P(x) = (x^2-9)Q2(x) + 5x-13

Kita mencari P(1).
Dari persamaan pertama, P(1) = (1^2-4)Q1(1) + 3(1)-7 = -3*Q1(1) - 4.
Dari persamaan kedua, P(1) = (1^2-9)Q2(1) + 5(1)-13 = -8*Q2(1) - 8.

Kita tidak bisa menentukan nilai P(1) hanya dari informasi ini karena kita tidak tahu Q1(1) dan Q2(1).

Ada kemungkinan ada kesalahan dalam interpretasi soal atau soal ini tidak dapat diselesaikan dengan informasi yang diberikan.

Namun, jika kita melihat pola sisa:
Ketika dibagi x^2-4 (akar 2, -2), sisa 3x-7.
P(2) = 3(2)-7 = -1
P(-2) = 3(-2)-7 = -13

Ketika dibagi x^2-9 (akar 3, -3), sisa 5x-13.
P(3) = 5(3)-13 = 2
P(-3) = 5(-3)-13 = -28

Jika kita mengasumsikan bahwa P(x) adalah polinomial berderajat tertentu, kita bisa mencoba menyusun polinomial sisa.
Misalkan sisa P(x) ketika dibagi (x^2-4)(x^2-9) adalah Ax^3 + Bx^2 + Cx + D.
Ini menjadi rumit.

Mari kita kembali ke apa yang diminta: sisa P(x) jika dibagi oleh x-1, yaitu P(1).

Jika soal ini berasal dari konteks di mana teorema sisa polinomial diterapkan, biasanya ada cara untuk menghubungkan nilai-nilai tersebut.

Mari kita pertimbangkan kasus yang lebih sederhana. Jika P(x) dibagi x-a sisanya k, maka P(a) = k.

Kita punya:
P(2) = -1
P(-2) = -13
P(3) = 2
P(-3) = -28

Kita ingin P(1).

Perhatikan selisih nilai x dan nilai sisa:
Untuk x=2, sisa 3x-7 = -1.  x - (sisa) = 2 - (-1) = 3.  (x^2-4) = 0.
Untuk x=-2, sisa 3x-7 = -13. x - (sisa) = -2 - (-13) = 11. (x^2-4) = 0.

Untuk x=3, sisa 5x-13 = 2. x - (sisa) = 3 - 2 = 1. (x^2-9) = 0.
Untuk x=-3, sisa 5x-13 = -28. x - (sisa) = -3 - (-28) = 25. (x^2-9) = 0.

Ini tidak menunjukkan pola yang jelas.

Kemungkinan besar, soal ini memiliki kesalahan atau membutuhkan informasi tambahan untuk menemukan P(1).

Namun, jika kita *harus* memberikan jawaban berdasarkan informasi yang ada, kita bisa melihat apakah ada pola dalam sisa ketika dibagi oleh x-a.

Sisa ketika P(x) dibagi x-2 adalah -1.
Sisa ketika P(x) dibagi x+2 adalah -13.
Sisa ketika P(x) dibagi x-3 adalah 2.
Sisa ketika P(x) dibagi x+3 adalah -28.

Kita ingin sisa ketika P(x) dibagi x-1, yaitu P(1).

Jika kita menggunakan interpolasi polinomial Lagrange, kita bisa menemukan polinomial yang melewati titik-titik ini, tetapi kita tidak tahu bahwa P(x) *hanya* memiliki titik-titik ini.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan bahwa sisa memiliki bentuk linear yang sama untuk pembagi yang berbeda.

Misalkan P(x) = (x-a)Q(x) + S.

Jika kita melihat sisa:
3x-7
5x-13

Perbedaan koefisien x: 5-3 = 2
Perbedaan konstanta: -13 - (-7) = -6

Ini juga tidak memberikan petunjuk.

Mari kita coba pendekatan yang berbeda. Misalkan P(x) = ax+b jika dibagi x-1. Kita perlu P(1) = a(1)+b.

Satu-satunya cara untuk menyelesaikan ini adalah jika ada hubungan antara P(2), P(-2), P(3), P(-3) yang memungkinkan kita menyimpulkan P(1).

Jika kita mengasumsikan P(x) adalah polinomial derajat 1, P(x) = mx+c. Maka:
m(2)+c = -1  => 2m+c = -1
m(-2)+c = -13 => -2m+c = -13
------------------
4m = 12 => m = 3
c = -1 - 2m = -1 - 6 = -7. Jadi P(x) = 3x-7. Cek dengan pembagi kedua:
P(3) = 3(3)-7 = 9-7 = 2. (Cocok)
P(-3) = 3(-3)-7 = -9-7 = -16. (Tidak cocok dengan -28).
Jadi P(x) bukan polinomial derajat 1.

Jika kita mengasumsikan P(x) adalah polinomial derajat 2, P(x) = ax^2+bx+c.
Ini juga akan menjadi rumit karena kita punya 4 nilai, dan P(x) bisa lebih dari derajat 3.

Tanpa informasi tambahan atau klarifikasi, soal ini tidak dapat diselesaikan secara matematis.

Namun, jika kita melihat format soal ujian, seringkali ada pola tersembunyi atau cara pintas.

Mari kita lihat kembali sisa:
Saat dibagi x^2-4, sisa 3x-7.
Saat dibagi x^2-9, sisa 5x-13.

Jika kita perhatikan nilai x=1:
Untuk pembagi x^2-4, jika kita substitusi x=1, hasilnya 1^2-4 = -3. Sisa pada x=1 adalah 3(1)-7 = -4.
Untuk pembagi x^2-9, jika kita substitusi x=1, hasilnya 1^2-9 = -8. Sisa pada x=1 adalah 5(1)-13 = -8.

Ini bisa mengarah pada kesimpulan bahwa sisa ketika P(x) dibagi x-1 adalah -8. Namun, ini adalah tebakan berdasarkan kesamaan nilai pada x=1 untuk pembagi kedua.

Ini bukan metode matematis yang valid.

Mari kita coba cari polinomial yang memenuhi kondisi tersebut. Misalkan sisa P(x) ketika dibagi (x^2-4)(x^2-9) adalah R(x). 
P(x) = (x^2-4)(x^2-9)Q(x) + R(x).
R(x) adalah polinomial berderajat paling tinggi 3.
R(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.

R(2) = 3(2)-7 = -1
R(-2) = 3(-2)-7 = -13
R(3) = 5(3)-13 = 2
R(-3) = 5(-3)-13 = -28

Kita punya 4 persamaan dengan 4 variabel:
8a + 4b + 2c + d = -1
-8a + 4b - 2c + d = -13
27a + 9b + 3c + d = 2
-27a + 9b - 3c + d = -28

Kurangi persamaan 1 dan 2:
16a + 4c = 12  => 4a + c = 3 (Persamaan 5)

Kurangi persamaan 3 dan 4:
54a + 6c = 30  => 9a + c = 5 (Persamaan 6)

Kurangi persamaan 5 dan 6:
(9a+c) - (4a+c) = 5 - 3
5a = 2 => a = 2/5

Substitusi a ke Persamaan 5:
4(2/5) + c = 3
8/5 + c = 15/5
c = 7/5

Substitusi a dan c ke Persamaan 1:
8(2/5) + 4b + 2(7/5) + d = -1
16/5 + 4b + 14/5 + d = -1
30/5 + 4b + d = -1
6 + 4b + d = -1
4b + d = -7 (Persamaan 7)

Substitusi a dan c ke Persamaan 3:
27(2/5) + 9b + 3(7/5) + d = 2
54/5 + 9b + 21/5 + d = 2
75/5 + 9b + d = 2
15 + 9b + d = 2
9b + d = -13 (Persamaan 8)

Kurangi Persamaan 7 dari Persamaan 8:
(9b+d) - (4b+d) = -13 - (-7)
5b = -6 => b = -6/5

Substitusi b ke Persamaan 7:
4(-6/5) + d = -7
-24/5 + d = -35/5
d = -11/5

Jadi, R(x) = (2/5)x^3 - (6/5)x^2 + (7/5)x - 11/5.

Sekarang kita perlu mencari sisa P(x) ketika dibagi x-1. Ini sama dengan P(1).
Karena P(x) = (x^2-4)(x^2-9)Q(x) + R(x),
maka P(1) = (1^2-4)(1^2-9)Q(1) + R(1).
P(1) = (-3)(-8)Q(1) + R(1) = 24*Q(1) + R(1).

Kita perlu mencari R(1).
R(1) = (2/5)(1)^3 - (6/5)(1)^2 + (7/5)(1) - 11/5
R(1) = 2/5 - 6/5 + 7/5 - 11/5
R(1) = (2 - 6 + 7 - 11) / 5
R(1) = (-4 + 7 - 11) / 5
R(1) = (3 - 11) / 5
R(1) = -8/5.

Jadi, P(1) = 24*Q(1) - 8/5.

Ini menunjukkan bahwa nilai P(1) tergantung pada Q(1), yang tidak diketahui.

Ada kemungkinan besar bahwa soal ini meminta sisa ketika P(x) dibagi oleh (x-2) atau (x-3) atau kombinasi lain yang dapat langsung dihitung.

Mari kita periksa kembali soal aslinya. Jika soalnya adalah menentukan sisa ketika P(x) dibagi oleh (x-1), dan kita diberikan sisa ketika dibagi oleh (x^2-4) dan (x^2-9), ini biasanya mengarah pada penggunaan Teorema Sisa China (Chinese Remainder Theorem) untuk polinomial, atau interpolasi.

Jika kita mengasumsikan soal tersebut benar dan ada jawaban numerik tunggal, maka ada cara untuk menghilangkan Q(1).

Perhatikan bahwa sisa ketika dibagi x-1 adalah P(1).
Jika kita punya:
P(x) = (x-1)S(x) + R

Kita tidak punya informasi tentang P(1) secara langsung.

Kemungkinan besar, ada kesalahan dalam penulisan soal, atau saya salah menginterpretasikan sesuatu.

Namun, jika kita mengabaikan fakta bahwa P(x) bisa memiliki faktor lain, dan hanya fokus pada sisa yang diberikan.

Jika kita melihat operasi yang diberikan:
Saat dibagi x^2-4, sisa 3x-7. Jika kita substitusi x=1, maka 1^2-4 = -3, dan sisa adalah 3(1)-7 = -4.
Saat dibagi x^2-9, sisa 5x-13. Jika kita substitusi x=1, maka 1^2-9 = -8, dan sisa adalah 5(1)-13 = -8.

Ini mengindikasikan bahwa ketika polinomial dibagi oleh -3, sisanya adalah -4, dan ketika dibagi oleh -8, sisanya adalah -8.
Ini tidak membantu.

Mari kita kembali ke R(1) = -8/5.
Jika Q(1) = 0, maka P(1) = -8/5.
Namun, tidak ada alasan untuk Q(1) menjadi 0.

Ada satu kemungkinan lain: jika soal ini meminta sisa P(x) ketika dibagi oleh (x-1) DARI sisa yang diberikan, bukan nilai P(1) itu sendiri.

Jika kita hanya melihat sisa yang diberikan sebagai polinomial:
S1(x) = 3x-7
S2(x) = 5x-13

Jika kita evaluasi pada x=1:
S1(1) = 3(1)-7 = -4
S2(1) = 5(1)-13 = -8

Ini adalah dua nilai yang berbeda.

Mari kita coba mencari polinomial berderajat rendah yang memenuhi kondisi ini.

Misalkan P(x) = Ax+B. Kita sudah coba dan gagal.

Misalkan P(x) = Ax^2+Bx+C.

Ini menjadi sangat kompleks.

Namun, jika kita perhatikan lagi soal nomor 1: