Diketahui panjang vektor u dan vektor v berturut-turut 3

a. 6, b. -31

Pembahasan

Untuk menyelesaikan perkalian vektor u dan vektor v, kita menggunakan definisi hasil kali titik (dot product).

Diketahui:
Panjang vektor u, |u| = 3
Panjang vektor v, |v| = 4
Sudut antara vektor u dan v, θ = π/3

a. Hasil perkalian vektor u . vektor v (hasil kali titik):
   Rumus hasil kali titik adalah: u . v = |u| |v| cos(θ)
   u . v = 3 * 4 * cos(π/3)
   Kita tahu bahwa cos(π/3) = 1/2.
   u . v = 12 * (1/2)
   u . v = 6

b. Hasil perkalian (vektor u - vektor v) . (3 vektor u + 4 vektor v):
   Kita dapat menggunakan sifat distributif perkalian vektor:
   (u - v) . (3u + 4v) = u . (3u + 4v) - v . (3u + 4v)
   = (u . 3u) + (u . 4v) - (v . 3u) - (v . 4v)
   = 3(u . u) + 4(u . v) - 3(v . u) - 4(v . v)

   Kita tahu bahwa u . u = |u|² dan v . v = |v|².
   Juga, u . v = v . u.

   Dari bagian (a), kita sudah tahu u . v = 6.
   u . u = |u|² = 3² = 9
   v . v = |v|² = 4² = 16

   Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan:
   = 3(9) + 4(6) - 3(6) - 4(16)
   = 27 + 24 - 18 - 64
   = 51 - 82
   = -31

Jadi, hasil perkaliannya adalah:
a. vektor u . vektor v = 6
b. (vektor u - vektor v) . (3 vektor u + 4 vektor v) = -31