Diketahui persamaan lingkaran x^2+y^2+4x-6y-3=0. Tentukan:

a. x^2 + y^2 - 8x - 10y + 25 = 0 b. x^2 + y^2 - 18y + 65 = 0

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0.
Untuk mencari pusat dan jari-jari lingkaran, kita ubah persamaan ke bentuk standar (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.

Lengkapkan kuadrat:
(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = 3
(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 3 + 4 + 9
(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16

Pusat lingkaran adalah P = (-2, 3) dan jari-jarinya adalah r = sqrt(16) = 4.

a. Bayangan lingkaran oleh translasi T = (6, 2):
Translasi menggeser pusat lingkaran. Jari-jari tidak berubah.
Pusat bayangan P' = P + T
P' = (-2, 3) + (6, 2) = (-2+6, 3+2) = (4, 5)

Persamaan bayangan lingkaran adalah (x - h')^2 + (y - k')^2 = r^2
(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 16
Ekspansi persamaan ini:
x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25 = 16
x^2 + y^2 - 8x - 10y + 25 = 0

b. Bayangan lingkaran oleh translasi T = (2, 6):
Pusat bayangan P'' = P + T
P'' = (-2, 3) + (2, 6) = (-2+2, 3+6) = (0, 9)

Persamaan bayangan lingkaran adalah (x - h'')^2 + (y - k'')^2 = r^2
(x - 0)^2 + (y - 9)^2 = 16
x^2 + (y - 9)^2 = 16
Ekspansi persamaan ini:
x^2 + y^2 - 18y + 81 = 16
x^2 + y^2 - 18y + 65 = 0