Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11mathAljabar

Diketahui persamaan (r -1)x^2-4rx+4r+7=0, dengan r bilangan

Pertanyaan

Diketahui persamaan (r -1)x^2-4rx+4r+7=0, dengan r bilangan bulat mempunyai akar-akar positif. Hasil penjumlahan akar-akar tersebut adalah ....

Solusi

Verified

8

Pembahasan

Persamaan kuadrat yang diberikan adalah $(r -1)x^2-4rx+4r+7=0$. Agar persamaan ini memiliki akar-akar positif, diskriminan harus non-negatif, jumlah akar harus positif, dan hasil kali akar harus positif. Diskriminan ($D$) adalah $b^2-4ac$. Dalam kasus ini, $a = (r-1)$, $b = -4r$, dan $c = 4r+7$. Maka, $D = (-4r)^2 - 4(r-1)(4r+7) = 16r^2 - 4(4r^2 + 7r - 4r - 7) = 16r^2 - 4(4r^2 + 3r - 7) = 16r^2 - 16r^2 - 12r + 28 = -12r + 28$. Agar akar real, $D \geq 0$, sehingga $-12r + 28 \geq 0$, yang berarti $28 \geq 12r$, atau $r \leq \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$. Jumlah akar ($x_1 + x_2$) adalah $-\frac{b}{a} = -\frac{-4r}{r-1} = \frac{4r}{r-1}$. Agar jumlah akar positif, $\frac{4r}{r-1} > 0$. Ini terjadi ketika $r < 0$ atau $r > 1$. Hasil kali akar ($x_1 x_2$) adalah $\frac{c}{a} = \frac{4r+7}{r-1}$. Agar hasil kali akar positif, $\frac{4r+7}{r-1} > 0$. Ini terjadi ketika $r < -\frac{7}{4}$ atau $r > 1$. Kita perlu mencari nilai $r$ bilangan bulat yang memenuhi semua kondisi ini: $r \leq \frac{7}{3}$, ($r < 0$ atau $r > 1$), dan ($r < -\frac{7}{4}$ atau $r > 1$). Jika kita gabungkan ketiga kondisi tersebut, kita mendapatkan $r < -\frac{7}{4}$. Karena $r$ adalah bilangan bulat, maka nilai $r$ yang memenuhi adalah $r \leq -2$. Namun, ada kesalahan dalam interpretasi soal, karena kita perlu mencari hasil penjumlahan akar, bukan nilai $r$. Mari kita revisi. Kembali ke kondisi agar akar positif: $D \geq 0$, $x_1+x_2 > 0$, dan $x_1 x_2 > 0$. Dari $D \geq 0$, kita dapatkan $r \leq \frac{7}{3}$. Dari $x_1+x_2 > 0$, kita dapatkan $\frac{4r}{r-1} > 0$, yang berarti $r < 0$ atau $r > 1$. Dari $x_1 x_2 > 0$, kita dapatkan $\frac{4r+7}{r-1} > 0$, yang berarti $r < -\frac{7}{4}$ atau $r > 1$. Untuk ketiga kondisi terpenuhi, kita perlu mencari irisan dari ketiga himpunan solusi tersebut. Irisan dari $r \leq \frac{7}{3}$, ($r < 0$ atau $r > 1$), dan ($r < -\frac{7}{4}$ atau $r > 1$) adalah $r < -\frac{7}{4}$. Karena $r$ adalah bilangan bulat, maka $r$ bisa bernilai -2, -3, -4, dst. Kita perlu mencari hasil penjumlahan akar, yaitu $\frac{4r}{r-1}$. Jika kita perhatikan lagi, soal ini mungkin memiliki solusi yang tidak bergantung pada nilai $r$ spesifik jika ada kondisi yang membuat ekspresi tersebut konstan atau jika ada kesalahan pada soal. Mari kita coba cek kembali kondisi akar positif. Jika akar positif, maka $x_1 > 0$ dan $x_2 > 0$. Jumlah akar: $x_1+x_2 = \frac{4r}{r-1}$. Hasil kali akar: $x_1x_2 = \frac{4r+7}{r-1}$. Jika $r=2$, maka $D = -12(2)+28 = 4 > 0$. Jumlah akar = $\frac{4(2)}{2-1} = 8 > 0$. Hasil kali akar = $\frac{4(2)+7}{2-1} = 15 > 0$. Jadi $r=2$ memenuhi syarat. Jika $r=2$, jumlah akar adalah 8. Jika $r=3$, maka $D = -12(3)+28 = -8 < 0$. Akar tidak real. Jika $r=1$, penyebut menjadi nol. Jika $r=0$, $D = 28 > 0$. Jumlah akar = 0. Akar tidak positif. Jika $r=-1$, $D = -12(-1)+28 = 40 > 0$. Jumlah akar = $\frac{4(-1)}{-1-1} = \frac{-4}{-2} = 2 > 0$. Hasil kali akar = $\frac{4(-1)+7}{-1-1} = \frac{3}{-2} < 0$. Akar tidak keduanya positif. Jika $r=-2$, $D = -12(-2)+28 = 52 > 0$. Jumlah akar = $\frac{4(-2)}{-2-1} = \frac{-8}{-3} = \frac{8}{3} > 0$. Hasil kali akar = $\frac{4(-2)+7}{-2-1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} > 0$. Jadi $r=-2$ memenuhi syarat. Jika $r=-2$, jumlah akar adalah $\frac{8}{3}$. Karena ada dua kemungkinan hasil penjumlahan akar (8 dan 8/3) tergantung nilai $r$, ada kemungkinan soal meminta nilai spesifik atau ada kekhususan lain. Jika kita asumsikan ada satu jawaban unik, mungkin ada cara lain. Mari kita periksa kembali persamaan: $(r -1)x^2-4rx+4r+7=0$. Jika kita mencoba memanipulasi persamaan untuk mencari nilai $r$, itu tidak langsung terlihat. Namun, jika soal ini berasal dari konteks tertentu, mungkin ada nilai $r$ yang

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Persamaan Kuadrat
Section: Akar Akar Persamaan Kuadrat

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...