Diketahui persegi panjang OABC dan titik D merupakan titik

2/3a + 1/3b

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan konsep vektor dalam geometri.

Misalkan O adalah titik pangkal (0,0).
Karena OABC adalah persegi panjang, maka vektor OA searah dengan sumbu x dan vektor OB searah dengan sumbu y.
Diketahui OA = a dan OB = b. Maka, kita dapat menyatakan vektor posisi titik-titik tersebut sebagai:
$\\vec{OA} = a$
$\\vec{OB} = b$

Titik A terletak pada ujung vektor OA, sehingga $\\vec{OA} = a$.
Titik B terletak pada ujung vektor OB, sehingga $\\vec{OB} = b$.

Karena OABC adalah persegi panjang, maka $\\vec{OC} = \\vec{OA} + \\vec{OB} = a + b$.

Diberikan D adalah titik tengah OA. Maka, $\\vec{OD} = \\frac{1}{2} \\vec{OA} = \\frac{1}{2} a$.

Persamaan garis CD dapat dinyatakan sebagai $\\vec{CD} = t \\vec{CO}$ atau $\\vec{CD} = \\vec{CO} + t \\vec{CO}$.
Lebih mudah, kita nyatakan garis CD dalam bentuk $\\vec{r} = \\vec{OC} + t \\vec{CD}$.
Namun, kita tahu $\\vec{CD} = \\vec{OD} - \\vec{OC} = \\frac{1}{2} a - (a + b) = -\\frac{1}{2} a - b$.
Jadi, persamaan garis CD adalah $\\vec{r} = (a + b) + t(-\\frac{1}{2} a - b)$.

Persamaan garis AB dapat dinyatakan sebagai $\\vec{AB} = \\vec{OB} - \\vec{OA} = b - a$.
Persamaan garis AB adalah $\\vec{r} = \\vec{OA} + s \\vec{AB} = a + s(b - a)$.

Titik P adalah perpotongan garis CD dan AB. Maka, kedua persamaan vektor harus sama:
$(a + b) + t(-\\frac{1}{2} a - b) = a + s(b - a)$
$a + b - \\frac{1}{2} t a - t b = a + s b - s a$

Kita bisa menyamakan koefisien dari vektor a dan b:
Koefisien a: $1 - \\frac{1}{2} t = 1 - s$
Dari sini, $-\\frac{1}{2} t = -s$, sehingga $s = \\frac{1}{2} t$.

Koefisien b: $1 - t = s$
Substitusikan $s = \\frac{1}{2} t$ ke persamaan koefisien b:
$1 - t = \\frac{1}{2} t$
$1 = t + \\frac{1}{2} t$
$1 = \\frac{3}{2} t$
$t = \\frac{2}{3}$

Sekarang kita bisa mencari nilai s: $s = \\frac{1}{2} t = \\frac{1}{2} * \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}$.

Untuk mencari $\\vec{OP}$, kita gunakan persamaan garis AB dengan nilai s yang sudah ditemukan:
$\\vec{OP} = a + s(b - a) = a + \\frac{1}{3}(b - a)$
$\\vec{OP} = a + \\frac{1}{3} b - \\frac{1}{3} a$
$\\vec{OP} = (1 - \\frac{1}{3}) a + \\frac{1}{3} b$
$\\vec{OP} = \\frac{2}{3} a + \\frac{1}{3} b$.

Jadi, OP dapat dinyatakan sebagai $\\frac{2}{3} \\vec{OA} + \\frac{1}{3} \\vec{OB}$.