Balok PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk PQ=8 cm, QR=4 cm,

3/5

Pembahasan

Untuk mencari nilai sinus sudut antara bidang PQXY dan bidang PQUT, kita perlu menentukan vektor normal dari kedua bidang tersebut. Bidang PQUT adalah bidang alas balok, sehingga vektor normalnya dapat dianggap sejajar dengan sumbu Z, misalnya $\vec{n1}$ = (0, 0, 1).

Untuk bidang PQXY, kita perlu mencari vektor normalnya. Titik P=(0,0,0), Q=(8,0,0), R=(8,4,0), S=(0,4,0), T=(0,0,5), U=(8,0,5), V=(8,4,5), W=(0,4,5).
Titik X terletak pada RV dengan perbandingan RX:XV=3:2. V=(8,4,5), R=(8,4,0). Vektor $\vec{RV}$ = V - R = (8-8, 4-4, 5-0) = (0,0,5). RX = (3/5)RV = (3/5)(0,0,5) = (0,0,3). X = R + RX = (8,4,0) + (0,0,3) = (8,4,3).
Titik Y terletak pada SW dengan perbandingan SY:SW=3:5. S=(0,4,0), W=(0,4,5). Vektor $\vec{SW}$ = W - S = (0-0, 4-4, 5-0) = (0,0,5). SY = (3/5)SW = (3/5)(0,0,5) = (0,0,3). Y = S + SY = (0,4,0) + (0,0,3) = (0,4,3).

Sekarang kita punya titik P=(0,0,0), Q=(8,0,0), X=(8,4,3), Y=(0,4,3). Kita bisa mencari dua vektor yang terletak pada bidang PQXY, misalnya $\vec{PQ}$ = (8,0,0) dan $\vec{PY}$ = (0,4,3).
Vektor normal $\vec{n2}$ terhadap bidang PQXY adalah hasil perkalian silang dari $\vec{PQ}$ dan $\vec{PY}$.
$\vec{n2}$ = $\vec{PQ}$ x $\vec{PY}$ = 
| i  j  k |
| 8  0  0 |
| 0  4  3 |
= i(0*3 - 0*4) - j(8*3 - 0*0) + k(8*4 - 0*0)
= 0i - 24j + 32k = (0, -24, 32).

Sinus sudut antara dua bidang adalah nilai absolut dari kosinus sudut antara vektor normalnya, dibagi dengan hasil kali panjang kedua vektor normal.
$\|\vec{n1}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.
$\|\vec{n2}\| = \sqrt{0^2 + (-24)^2 + 32^2} = \sqrt{576 + 1024} = \sqrt{1600} = 40$.

$\{\vec{n1}} \cdot \{\vec{n2}} = (0)(0) + (0)(-24) + (1)(32) = 32$.

cos $\theta$ = $\frac{\{\vec{n1}} \cdot \{\vec{n2}}}{\|\vec{n1}\| \|\vec{n2}\|}$ = $\frac{32}{1 \cdot 40}$ = $\frac{32}{40}$ = $\frac{4}{5}$.

Sin $\theta$ = $\sqrt{1 - \cos^2 \theta}$ = $\sqrt{1 - (4/5)^2}$ = $\sqrt{1 - 16/25}$ = $\sqrt{9/25}$ = $3/5$.