Diketahui pertidaksamaan akar(2x-1)+akar(x-2)>3. Tentukan

{x | x > 26 - 6√15}

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan akar(2x-1)+akar(x-2)>3, kita perlu memperhatikan beberapa hal:

1. Syarat akar:
   - 2x - 1 ≥ 0  =>  2x ≥ 1  =>  x ≥ 1/2
   - x - 2 ≥ 0   =>  x ≥ 2
   Gabungan kedua syarat ini adalah x ≥ 2.

2. Menyelesaikan pertidaksamaan:
   akar(2x-1) > 3 - akar(x-2)

   Kuadratkan kedua sisi:
   2x - 1 > (3 - akar(x-2))^2
   2x - 1 > 9 - 6*akar(x-2) + (x-2)
   2x - 1 > 7 + x - 6*akar(x-2)
   2x - 1 - 7 - x > -6*akar(x-2)
   x - 8 > -6*akar(x-2)

   Sekarang kita perlu mempertimbangkan dua kasus berdasarkan tanda dari (x-8).

   Kasus 1: x - 8 > 0 (yaitu x > 8)
   Karena x > 8, maka kedua sisi pertidaksamaan (x - 8 > -6*akar(x-2)) adalah positif dan negatif (atau nol). Jika x-8 positif, maka pertidaksamaan ini akan selalu benar jika -6*akar(x-2) lebih kecil atau sama dengan nol. Namun, -6*akar(x-2) selalu bernilai negatif atau nol (karena akar selalu non-negatif). Jadi, ketika x > 8, x-8 selalu lebih besar dari nilai negatif atau nol. Sehingga, semua x > 8 adalah solusi.

   Kasus 2: x - 8 ≤ 0 (yaitu x ≤ 8)
   Dalam kasus ini, sisi kiri (x-8) adalah non-positif, sementara sisi kanan (-6*akar(x-2)) adalah non-positif. Kita perlu mengkuadratkan kedua sisi lagi, namun perlu hati-hati karena arah pertidaksamaan bisa berubah jika kedua sisi negatif. Agar kedua sisi positif, kita ubah pertidaksamaan menjadi:
   6*akar(x-2) > 8 - x
   Kuadratkan kedua sisi:
   36(x-2) > (8-x)^2
   36x - 72 > 64 - 16x + x^2
   0 > x^2 - 16x - 36x + 64 + 72
   0 > x^2 - 52x + 136
   x^2 - 52x + 136 < 0

   Untuk mencari akar dari x^2 - 52x + 136 = 0, kita gunakan rumus kuadratik:
   x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
   x = [52 ± sqrt((-52)^2 - 4*1*136)] / 2*1
   x = [52 ± sqrt(2704 - 544)] / 2
   x = [52 ± sqrt(2160)] / 2
   x = [52 ± sqrt(144 * 15)] / 2
   x = [52 ± 12*sqrt(15)] / 2
   x = 26 ± 6*sqrt(15)

   Jadi, akar-akarnya adalah x1 = 26 - 6*sqrt(15) dan x2 = 26 + 6*sqrt(15).
   Karena parabola x^2 - 52x + 136 terbuka ke atas, maka x^2 - 52x + 136 < 0 ketika 26 - 6*sqrt(15) < x < 26 + 6*sqrt(15).

   Kita perlu menggabungkan hasil ini dengan syarat kasus 2 (x ≤ 8) dan syarat akar awal (x ≥ 2).
   Nilai perkiraan:
   sqrt(15) ≈ 3.87
   6*sqrt(15) ≈ 23.22
   x1 ≈ 26 - 23.22 = 2.78
   x2 ≈ 26 + 23.22 = 49.22

   Jadi, pertidaksamaan x^2 - 52x + 136 < 0 terpenuhi untuk 2.78 < x < 49.22.
   Menggabungkan dengan x ≤ 8 dan x ≥ 2:
   Irisan dari (2.78 < x < 49.22) dan (x ≤ 8) adalah 2.78 < x ≤ 8.
   Irisan dari (2.78 < x ≤ 8) dan (x ≥ 2) adalah 2.78 < x ≤ 8.
   Dalam notasi akar, ini adalah (26 - 6*sqrt(15)) < x ≤ 8.

3. Menggabungkan hasil dari kedua kasus:
   Kasus 1: x > 8
   Kasus 2: (26 - 6*sqrt(15)) < x ≤ 8

   Namun, kita perlu memeriksa kembali langkah saat mengkuadratkan x - 8 > -6*akar(x-2) pada Kasus 2 (x ≤ 8).
   Ketika x ≤ 8, sisi kiri (x-8) adalah non-positif. Sisi kanan (-6*akar(x-2)) juga non-positif. Agar pertidaksamaan x - 8 > -6*akar(x-2) bernilai benar, maka sisi kiri harus lebih besar dari sisi kanan. Jika x=8, maka 0 > -6*akar(6), yang benar. Jika x < 8, kita perlu memastikan bahwa nilai negatif di kiri lebih besar dari nilai negatif di kanan. 
   Ini berarti kita harus mengkuadratkan kedua sisi dengan benar atau memecahnya lagi.

   Mari kita ulangi dari x - 8 > -6*akar(x-2) dengan syarat x ≤ 8:
   Karena sisi kiri (x-8) ≤ 0 dan sisi kanan (-6*akar(x-2)) ≤ 0, kita bisa membalik pertidaksamaan dan mengalikan dengan -1:
   -(x - 8) < 6*akar(x-2)
   8 - x < 6*akar(x-2)
   Ini sama dengan pertidaksamaan yang kita dapatkan sebelumnya.
   Kita sudah mendapatkan bahwa 26 - 6*sqrt(15) < x < 26 + 6*sqrt(15).
   Menggabungkan dengan syarat x ≤ 8 dan x ≥ 2, kita mendapatkan 26 - 6*sqrt(15) < x ≤ 8.

   Sekarang, mari kita lihat kembali Kasus 1: x > 8.
   Pada langkah x - 8 > -6*akar(x-2).
   Ketika x > 8, sisi kiri positif, sisi kanan negatif. Pertidaksamaan selalu benar. Jadi, semua x > 8 adalah solusi.

   Sekarang mari kita pertimbangkan titik batas di mana kedua sisi bisa sama.
   Misalkan 2x-1 = 0 => x=1/2. Misalkan x-2 = 0 => x=2.
   Mari kita uji nilai:
   Jika x=3:
   akar(2*3-1) + akar(3-2) = akar(5) + akar(1) = 2.23 + 1 = 3.23 > 3. Maka x=3 adalah solusi.
   Ini sesuai dengan rentang 26 - 6*sqrt(15) < x ≤ 8.
   26 - 6*sqrt(15) ≈ 2.78
   Jadi 2.78 < 3 ≤ 8.

   Jika x=9:
   akar(2*9-1) + akar(9-2) = akar(17) + akar(7) = 4.12 + 2.64 = 6.76 > 3. Maka x=9 adalah solusi.
   Ini sesuai dengan rentang x > 8.

   Jadi, gabungan solusi dari kedua kasus adalah:
   (26 - 6*sqrt(15)) < x ≤ 8  ATAU  x > 8.
   Ini dapat disederhanakan menjadi x > 26 - 6*sqrt(15).

   Namun, kita perlu memastikan tidak ada kesalahan dalam penanganan tanda saat pengkuadratan.

   Kita harus memeriksa ulang pertidaksamaan: akar(2x-1)+akar(x-2)>3
   Kuadratkan kedua sisi:
   (2x-1) + (x-2) + 2*akar((2x-1)(x-2)) > 9
   3x - 3 + 2*akar(2x^2 - 4x - x + 2) > 9
   2*akar(2x^2 - 5x + 2) > 9 + 3 - 3x
   2*akar(2x^2 - 5x + 2) > 12 - 3x

   Sekarang kita perlu membagi menjadi kasus berdasarkan tanda (12 - 3x).

   Kasus A: 12 - 3x ≤ 0 => 12 ≤ 3x => x ≥ 4
   Dalam kasus ini, sisi kanan non-positif, dan sisi kiri (2*akar(...)) selalu non-negatif. Jadi, pertidaksamaan selalu benar ketika x ≥ 4.
   Menggabungkan dengan syarat akar awal (x ≥ 2), maka solusi untuk kasus ini adalah x ≥ 4.

   Kasus B: 12 - 3x > 0 => 12 > 3x => x < 4
   Karena kedua sisi positif, kita bisa mengkuadratkan kedua sisi:
   (2*akar(2x^2 - 5x + 2))^2 > (12 - 3x)^2
   4 * (2x^2 - 5x + 2) > 144 - 72x + 9x^2
   8x^2 - 20x + 8 > 144 - 72x + 9x^2
   0 > 9x^2 - 8x^2 - 72x + 20x + 144 - 8
   0 > x^2 - 52x + 136
   x^2 - 52x + 136 < 0

   Seperti sebelumnya, akar-akarnya adalah x = 26 ± 6*sqrt(15).
   Jadi, pertidaksamaan ini terpenuhi ketika 26 - 6*sqrt(15) < x < 26 + 6*sqrt(15).

   Sekarang kita gabungkan dengan syarat Kasus B (x < 4) dan syarat akar awal (x ≥ 2).
   Irisan dari (26 - 6*sqrt(15) < x < 26 + 6*sqrt(15)) dan (x < 4) adalah 26 - 6*sqrt(15) < x < 4.
   Karena 26 - 6*sqrt(15) ≈ 2.78, maka rentang ini valid.
   Irisan dari (26 - 6*sqrt(15) < x < 4) dan (x ≥ 2) adalah 26 - 6*sqrt(15) < x < 4.

3. Menggabungkan solusi dari Kasus A dan Kasus B:
   Kasus A: x ≥ 4
   Kasus B: 26 - 6*sqrt(15) < x < 4

   Gabungan dari kedua kasus ini adalah: (26 - 6*sqrt(15) < x < 4) U (x ≥ 4).
   Ini menyederhanakan menjadi x > 26 - 6*sqrt(15).

   Namun, kita perlu ingat syarat akar awal x ≥ 2.
   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x > 26 - 6*sqrt(15) dengan syarat x ≥ 2.
   Karena 26 - 6*sqrt(15) ≈ 2.78, maka rentang ini sudah memenuhi x ≥ 2.

   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x > 26 - 6*sqrt(15).
   Dalam notasi interval: (26 - 6*sqrt(15), ∞).

   Mari kita verifikasi dengan menguji nilai di batas:
   Jika x = 26 - 6*sqrt(15) ≈ 2.78
   2x-1 ≈ 2(2.78)-1 = 5.56-1 = 4.56 => akar(4.56) ≈ 2.14
   x-2 ≈ 2.78-2 = 0.78 => akar(0.78) ≈ 0.88
   2.14 + 0.88 = 3.02. Ini mendekati 3, tetapi karena kita menggunakan < di penyelesaian kuadratik, nilai batas ini tidak termasuk.

   Jika kita ambil nilai sedikit lebih besar dari 26 - 6*sqrt(15), misalnya x=3.
   akar(2*3-1) + akar(3-2) = akar(5) + akar(1) = 2.236 + 1 = 3.236 > 3. Ini benar.

   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x sedemikian sehingga x > 26 - 6*sqrt(15).
   Ini adalah $(26 - 6\sqrt{15}, \infty)$.