Perhatikan gambar berikut. C B A D Diketahui CD adalah

\(r_A = 25\) cm dan \(r_B = 5\) cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jari-jari \(r_A\) dan \(r_B\), kita dapat menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh garis singgung, jari-jari, dan garis penghubung pusat lingkaran.

Diketahui:
Panjang garis singgung persekutuan dalam \(CD = 16\) cm
Jarak antara pusat lingkaran \(AB = 34\) cm
Perbandingan jari-jari \(r_A : r_B = 5 : 1\)

Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam adalah:
\(d^2 = p^2 - (r_1 + r_2)^2\)
dimanakah \(d\) adalah panjang garis singgung persekutuan dalam, \(p\) adalah jarak antara kedua pusat lingkaran, \(r_1\) dan \(r_2\) adalah jari-jari kedua lingkaran.

Dalam kasus ini, \(d = 16\) cm, \(p = 34\) cm, \(r_1 = r_A\), dan \(r_2 = r_B\).

Substitusikan nilai yang diketahui ke dalam rumus:
\(16^2 = 34^2 - (r_A + r_B)^2\)
\(256 = 1156 - (r_A + r_B)^2\)

Pindahkan \((r_A + r_B)^2\) ke sisi kiri dan 256 ke sisi kanan:
\((r_A + r_B)^2 = 1156 - 256\)
\((r_A + r_B)^2 = 900\)

Akarkan kedua sisi untuk mendapatkan \(r_A + r_B\):
\(r_A + r_B = \sqrt{900}\)
\(r_A + r_B = 30\) cm

Kita juga tahu bahwa \(r_A : r_B = 5 : 1\). Ini berarti \(r_A = 5k\) dan \(r_B = 1k = k\) untuk suatu konstanta \(k\).

Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan \(r_A + r_B = 30\):
\(5k + k = 30\)
\(6k = 30\)
\(k = 30 / 6\)
\(k = 5\)

Sekarang kita dapat menentukan \(r_A\) dan \(r_B\):
\(r_A = 5k = 5 \times 5 = 25\) cm
\(r_B = k = 5\) cm

Jadi, jari-jari lingkaran A adalah 25 cm dan jari-jari lingkaran B adalah 5 cm.