Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibentuk

Besar sudut adalah arctan(1/sqrt(2)) atau arcsin(1/sqrt(3)) atau arccos(sqrt(2)/sqrt(3)).

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh diagonal ruang BG dengan bidang diagonal BDHF pada kubus ABCD.EFGH, kita perlu membayangkan kubus tersebut dan menggunakan konsep geometri ruang.

1.  **Visualisasi Kubus dan Bidang Diagonal**: Bayangkan kubus ABCD.EFGH. Bidang diagonal BDHF adalah persegi panjang yang dibentuk oleh diagonal alas BD, diagonal atas FH, dan rusuk BF serta DH.

2.  **Identifikasi Diagonal Ruang**: Diagonal ruang BG menghubungkan titik B pada alas dengan titik G pada sisi atas yang berlawanan.

3.  **Proyeksi Diagonal Ruang pada Bidang Diagonal**: Sudut yang dibentuk oleh BG dengan bidang BDHF adalah sudut antara BG dan proyeksinya pada bidang BDHF. Proyeksi BG pada bidang BDHF adalah garis BH.

4.  **Menentukan Segitiga yang Relevan**: Perhatikan segitiga siku-siku BFG. BG adalah diagonal ruang. BF adalah rusuk kubus (misalkan panjangnya 's'). FG adalah diagonal sisi kubus.

5.  **Menghitung Panjang Diagonal**: 
    *   Misalkan panjang rusuk kubus adalah 's'.
    *   Panjang diagonal sisi FG = sqrt(s^2 + s^2) = s*sqrt(2).
    *   Panjang diagonal ruang BG = sqrt(s^2 + s^2 + s^2) = s*sqrt(3).
    *   Panjang diagonal bidang BDHF, yaitu BH, dapat dihitung dari segitiga siku-siku BFC (salah, harusnya BCD atau BCF, tapi kita perlu BH yang ada di bidang BDHF). Perhatikan segitiga siku-siku BCD, BD = s*sqrt(2). Perhatikan segitiga siku-siku BDH, maka BH = sqrt(BD^2 + DH^2) = sqrt((s*sqrt(2))^2 + s^2) = sqrt(2s^2 + s^2) = sqrt(3s^2) = s*sqrt(3). Ini salah, BH bukan diagonal ruang.
    Mari kita gunakan segitiga siku-siku ABH di mana AH adalah diagonal sisi ADHE. AH = s*sqrt(2). AB = s. Jadi BH = sqrt(AB^2 + AH^2) = sqrt(s^2 + (s*sqrt(2))^2) = sqrt(s^2 + 2s^2) = sqrt(3s^2) = s*sqrt(3). Ini juga salah.

    Kembali ke visualisasi: Bidang BDHF. Kita perlu sudut antara BG dan BH (proyeksi BG ke bidang BDHF).
    Perhatikan segitiga siku-siku BFG. BG = s*sqrt(3). FG = s*sqrt(2). BF = s.
    Sudut yang dibentuk BG dengan bidang BDHF adalah sudut antara BG dan proyeksinya, yaitu BH. Kita perlu segitiga yang memuat BG, BH, dan HG atau segitiga yang memuat BG, BF, dan FG.

    Mari kita fokus pada segitiga siku-siku BFG. Sudut yang dibentuk BG dengan bidang alas ABCD adalah sudut GBC, tapi itu bukan yang dicari.

    Kita perlu sudut antara BG dan BH. Perhatikan segitiga siku-siku BGH, dengan siku-siku di H (karena GH tegak lurus dengan bidang BCGF, sehingga GH tegak lurus dengan BG yang terletak pada bidang BCGF - ini salah).

    Kita perlu sudut antara BG (diagonal ruang) dengan bidang BDHF. Proyeksi G pada bidang BDHF adalah H. Jadi kita cari sudut GBH.
    Dalam kubus, rusuk BG tegak lurus dengan rusuk AB dan BC.
    Perhatikan segitiga siku-siku BFG (siku-siku di F). BF = s, FG = s*sqrt(2), BG = s*sqrt(3).
    Sekarang perhatikan bidang BDHF. Kita perlu sudut antara BG dan BH. Perhatikan segitiga siku-siku ABH (siku-siku di A). AB = s, AH = s*sqrt(2). Maka BH = s*sqrt(3). Ini juga salah.

    Mari kita pakai teorema Pythagoras pada segitiga BFG (siku-siku di F):
    BG^2 = BF^2 + FG^2
    BG^2 = s^2 + (s*sqrt(2))^2 = s^2 + 2s^2 = 3s^2
    BG = s*sqrt(3)

    Sekarang, kita perlu proyeksi G ke bidang BDHF. Titik H adalah proyeksi G ke bidang BDHF.
    Perhatikan segitiga siku-siku BGH. Siku-sikunya di mana? GH adalah rusuk tegak, BH adalah diagonal bidang. BG adalah diagonal ruang.
    Kita tahu bahwa GH tegak lurus dengan bidang ABCD, jadi GH tegak lurus dengan BH. Segitiga BGH siku-siku di H.
    GH = s.
    BH = diagonal bidang ABCD = sqrt(AB^2 + AD^2) = sqrt(s^2 + s^2) = s*sqrt(2).
    BG = diagonal ruang = sqrt(s^2 + s^2 + s^2) = s*sqrt(3).
    
    Dalam segitiga siku-siku BGH:
    Sudut yang dibentuk BG dengan bidang BDHF adalah sudut GBH (karena BH adalah proyeksi BG pada bidang BDHF).
    Kita bisa menggunakan trigonometri pada segitiga BGH:
    sin(sudut GBH) = GH / BG = s / (s*sqrt(3)) = 1/sqrt(3)
    cos(sudut GBH) = BH / BG = (s*sqrt(2)) / (s*sqrt(3)) = sqrt(2)/sqrt(3)
    tan(sudut GBH) = GH / BH = s / (s*sqrt(2)) = 1/sqrt(2)

    Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh BG dengan bidang BDHF adalah sudut yang memiliki tangen 1/sqrt(2), atau arcsin(1/sqrt(3)), atau arccos(sqrt(2)/sqrt(3)). Nilai sudut ini adalah sekitar 35.26 derajat.