Himpunan penyelesaian dari akar(x - 1) < x - 7 dengan x e R

{x | x > 10}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\sqrt{x - 1} < x - 7$, kita perlu mempertimbangkan dua kondisi utama: 

1.  **Syarat numerus (di bawah akar) harus non-negatif:**
    $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

2.  **Kedua ruas harus non-negatif agar bisa dikuadratkan:**
    Karena ruas kiri adalah akar kuadrat yang nilainya selalu non-negatif, maka ruas kanan juga harus non-negatif.
    $x - 7 \ge 0 \implies x \ge 7$
    Ini berarti kita hanya perlu mempertimbangkan nilai $x$ yang lebih besar dari atau sama dengan 7.

3.  **Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan:**
    $(\sqrt{x - 1})^2 < (x - 7)^2$
    $x - 1 < x^2 - 14x + 49$
    $0 < x^2 - 14x - x + 49 + 1$
    $0 < x^2 - 15x + 50$
    Atau $x^2 - 15x + 50 > 0$

    Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ini, kita cari akar-akarnya terlebih dahulu dengan memfaktorkan:
    $x^2 - 15x + 50 = 0$
    Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 50 dan jika dijumlahkan hasilnya -15. Bilangan tersebut adalah -5 dan -10.
    $(x - 5)(x - 10) = 0$
    Akar-akarnya adalah $x = 5$ dan $x = 10$.

    Karena koefisien $x^2$ positif, parabola terbuka ke atas. Jadi, $x^2 - 15x + 50 > 0$ ketika $x < 5$ atau $x > 10$.

4.  **Iriskan semua syarat yang diperoleh:**
    Dari syarat 1: $x \ge 1$
    Dari syarat 2: $x \ge 7$
    Dari hasil pertidaksamaan kuadrat: $x < 5$ atau $x > 10$

    Kita perlu mengiriskan ketiga kondisi ini:
    *   $x \ge 1$ dan $x \ge 7$ mengimplikasikan $x \ge 7$.
    *   Sekarang iriskan $x \ge 7$ dengan ($x < 5$ atau $x > 10$).

    Jika $x \ge 7$, maka kondisi $x < 5$ tidak terpenuhi.
    Jadi, kita hanya perlu mempertimbangkan irisan antara $x \ge 7$ dan $x > 10$.

    Irisannya adalah $x > 10$.

Jadi, himpunan penyelesaian dari $\sqrt{x - 1} < x - 7$ adalah $x > 10$ atau dalam notasi himpunan adalah $(10, \infty)$.