Diketahui sebuah persegi panjang ABCD, dengan AB = p dan AC

Nilai p yang memberikan luas maksimum adalah 40 / (4+π).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai p yang memberikan luas maksimum pada daerah yang diarsir.

Diketahui:
Persegi panjang ABCD dengan AB = p dan AC = q (diagonal).
Setengah lingkaran dibentuk pada sisi CD.
Keliling daerah yang diarsir = 20.

Daerah yang diarsir terdiri dari:
1.  Dua sisi panjang persegi panjang (AB dan CD).
2.  Dua setengah keliling lingkaran pada sisi CD.

Karena setengah lingkaran dibentuk pada sisi CD, maka diameter setengah lingkaran adalah panjang sisi CD. Dalam persegi panjang, sisi CD sama dengan sisi AB, yaitu p. Jadi, diameter setengah lingkaran = p.
Jari-jari setengah lingkaran (r) = p/2.

Keliling daerah yang diarsir terdiri dari:
- Sisi AD + Sisi BC + Sisi AB + setengah keliling lingkaran.
- Namun, dari gambar yang diasumsikan (dimana daerah yang diarsir adalah AB, AD, BC, dan setengah lingkaran di atas CD), kelilingnya adalah:
  Keliling = AB + AD + BC + (1/2 * keliling lingkaran)
  Keliling = p + BC + AD + (1/2 * π * diameter)
  Karena ABCD adalah persegi panjang, AD = BC. Kita tidak diberi informasi tentang AD atau BC secara langsung, tapi kita diberi AC = q (diagonal).
  Dalam segitiga siku-siku ABC, berlaku Teorema Pythagoras: AC² = AB² + BC²
  q² = p² + BC²
  BC = √(q² - p²)
  Jadi, AD = BC = √(q² - p²).

  Keliling = p + √(q² - p²) + √(q² - p²) + (1/2 * π * p)
  Keliling = p + 2√(q² - p²) + (πp / 2)

  Diberikan keliling = 20:
  20 = p + 2√(q² - p²) + (πp / 2)

  Ini adalah persamaan yang rumit untuk mencari luas maksimum. Mari kita tinjau kembali interpretasi soalnya. Seringkali, soal seperti ini menyederhanakan dengan menganggap daerah yang diarsir adalah keliling luar dari gabungan bentuk tersebut.

  Jika daerah yang diarsir adalah keliling luar dari persegi panjang (tanpa setengah lingkaran) DITAMBAH setengah keliling lingkaran:
  Keliling = Keliling Persegi Panjang + Setengah Keliling Lingkaran
  Keliling = 2(p + AD) + (1/2 * π * p)
  Ini juga tidak sesuai karena setengah lingkaran ada di sisi CD.

  Interpretasi yang paling umum untuk "daerah yang diarsir" dalam konteks keliling adalah keliling luar dari gabungan bentuk tersebut.
  Keliling daerah yang diarsir = AB + AD + BC + setengah keliling lingkaran di atas CD.
  Keliling = p + AD + BC + (1/2 * π * p)
  Karena AD = BC, mari kita sebut panjang sisi tegak adalah 'l'.
  Keliling = p + 2l + (πp / 2)
  20 = p + 2l + (πp / 2)
  2l = 20 - p - (πp / 2)
  l = 10 - p/2 - (πp / 4)

  Luas daerah yang diarsir (L) = Luas Persegi Panjang + Luas Setengah Lingkaran
  L = (p * l) + (1/2 * π * r²)
  L = p * (10 - p/2 - πp/4) + (1/2 * π * (p/2)²)
  L = 10p - p²/2 - πp²/4 + (1/2 * π * p²/4)
  L = 10p - p²/2 - πp²/4 + πp²/8
  L = 10p - p²/2 - πp²/8

  Untuk mencari luas maksimum, kita turunkan L terhadap p dan samakan dengan nol:
  dL/dp = 10 - p - (2πp / 8)
  dL/dp = 10 - p - (πp / 4)

  Samakan dengan nol:
  10 - p - (πp / 4) = 0
  10 = p + (πp / 4)
  10 = p (1 + π/4)
  10 = p ((4+π)/4)
  p = 10 * 4 / (4+π)
  p = 40 / (4+π)

  Sekarang kita perlu mengecek apakah ini maksimum menggunakan turunan kedua. 
  d²L/dp² = -1 - π/4. Karena hasilnya negatif, ini adalah titik maksimum.

  Jadi, nilai p yang memberikan luas maksimum adalah 40 / (4+π).

  Mari kita periksa apakah ada interpretasi lain yang lebih sederhana atau jika nilai q digunakan.
  Jika q adalah sisi tegak (bukan diagonal), maka AD = q. Maka:
  Keliling = p + 2q + (πp / 2)
  20 = p + 2q + (πp / 2)
  2q = 20 - p - (πp / 2)
  q = 10 - p/2 - (πp / 4)
  Luas = p*q + (1/2 * π * (p/2)²)
  Luas = p * (10 - p/2 - πp/4) + πp²/8
  Luas = 10p - p²/2 - πp²/4 + πp²/8
  Luas = 10p - p²/2 - πp²/8
  Ini menghasilkan p = 40 / (4+π) lagi.

  Jika q adalah panjang sisi miring (diagonal) seperti yang tertulis, dan p adalah panjang sisi AB, maka sisi tegak AD (atau BC) adalah √(q²-p²). Kita perlu memastikan bahwa p dan √(q²-p²) adalah positif, yang berarti q > p.

  Jawaban yang paling konsisten dengan perhitungan turunan untuk luas maksimum adalah p = 40 / (4+π). Namun, soal ini juga memberikan pilihan jawaban (A, p, B, q, D, C.) yang terlihat seperti label atau bagian dari gambar, bukan nilai numerik. Jika ini adalah soal pilihan ganda dan salah satu pilihannya adalah nilai p, maka perhitungan di atas adalah cara menemukannya.

  Karena soal meminta "p = ..." dan memberikan label seperti "A, p, B, q, D, C.", ini mungkin mengindikasikan bahwa ada informasi yang hilang atau format soal yang tidak lengkap. Namun, berdasarkan informasi yang diberikan dan asumsi standar untuk soal optimasi luas/keliling, kita dapatkan nilai p tersebut.

  Jika kita diminta untuk mencari nilai p saja tanpa pilihan, jawabannya adalah p = 40 / (4+π).